Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Injektivität von linearen Isomorphismen
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Injektivität von linearen Isomorphismen
 
Autor Nachricht
Physikus
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2005 - 22:51:38    Titel: Injektivität von linearen Isomorphismen

Ich bin in den Ferien bei einem eigentlich ziemlich trivialen Satz auf ein Verständnisproblem gestoßen. Es geht darum, dass ein linearer, isometrischer Operator T auf einem normierten Raum E injektiv ist. Isometrisch heißt ja bekanntlich ||Tx|| = ||x|| für x in E. Die Bedingung für Injektivität ist ja Tx_1 = Tx_2 => x_1 = x_2 für alle x_1, x_2 in E. Das kann man natürlich leicht so zeigen, indem man die äquivalente Bedingung Tx = 0 => x = 0 (man setzt einfach x:= x_1 - x_2) beweist.
Nun dachte ich mir, dass man das mit der ursprünglichen Formulierung doch auch zeigen können müsste. Sei also Tx_1 = Tx_2; dann ist natürlich auch ||Tx_1|| = ||Tx_2||. Wegen der Isometrie ist dann auch ||x_1|| = ||x_2||. Ich müsste doch nun aus ||x_1|| = ||x_2|| folgern, dass x_1 = x_2 ist, oder hab ich da schon irgendwas durcheinander gebracht? Im Allgemeinen ist der Schluss ||x_1|| = ||x_2|| => x_1 = x_2 natürlich falsch; man nehme z.B. E = C (komplexe Zahlen), als Norm die euklidische Norm und x_1 = z, x_2 = exp(ia)*z mit reellem a. Die Norm beider Zahlen von x_1 und x_2 ist gleich, aber dennoch ist x_1 != x_2.

Irgendwo muss doch da ein Denkfehler drin sein, denn es geht doch nicht, dass der Beweis in einer Formulierung allgemein erbracht werden kann, in der anderen aber nicht. Wo liegt der Fehler in der Überlegung?? Confused
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 03 Jan 2005 - 23:45:31    Titel:

Meiner Meinung nach enthält die Überlegung gar keinen Fehler. Für mich ist das ein schönes Gegenbeispiel für die Aussage: "Egal, wie man bei einem Beweis ansetzt, so kommt man bei vernünftiger Rechnung zum positiven Ergebnis", die ich mal von einem meiner Korrektor-Kollegen gehört habe.

In dem Du in den Raum der Norm übergehst, triffst Du eine zu großzügige Abschwächung des Problems, aus der die Folgerung nicht mehr rekonstruiert werden kann.

Tx_1 = T_x2 => (Körper!)
Tx_1 - T_x2 = 0 => (linear)
T(x_1 - x2) = 0 =>
...
x_1 - x_2 = 0 =>
x_1 = x_2

Dummerweise ist das genau der Beweis, den Du nicht haben wolltest.

Ein anderes aber ähnliches Beispiel wäre z.B. die Injektivität der Identität so zu zeigen:

Id(x_1) = Id(x_2) => alles mal 0
0 = 0 =>

jetzt müsste aus wahr x_1 = x_2 folgen, was nicht richtig ist.
Physikus
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2005 - 01:00:30    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
In dem Du in den Raum der Norm übergehst, triffst Du eine zu großzügige Abschwächung des Problems, aus der die Folgerung nicht mehr rekonstruiert werden kann.

Hmm, am Übergang zur Norm liegt es also? Kannst du das evtl. genauer erklären-so richtig ist mir noch nicht klar, warum die eine Formulierung Unsinn liefert und die andere das richtige, wenn beide, wie du sagst, eigentlich nicht fehlerhaft sind. Confused

Zitat:
Ein anderes aber ähnliches Beispiel wäre z.B. die Injektivität der Identität so zu zeigen:

Id(x_1) = Id(x_2) => alles mal 0
0 = 0 =>

jetzt müsste aus wahr x_1 = x_2 folgen, was nicht richtig ist.

Hier ist der Unsinn in der Rechnung offensichtlich (Multiplikation mit 0)-bei meinem obigen Beispiel ist er es für mich leider noch nicht. Neutral
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2005 - 22:22:41    Titel:

Ich versuche mal das anschaulich. Ein normierter Raum (E,|.|) ist ja im Allgemeinen etwas "ganz krasses", hat seine Struktur und hat bis auf die Norm mit R (eine übliche Definition einer Norm ist ja eine Abbildung in R) nichts zu tun. Indem Du die Norm anwendest reduzierst Du die Eigenschaften deines normierten Raumes auf die der entsprechenden Teilmenge von R. Jetzt willst Du im allerletzten Schritt die abgeleitete Eigenschaft wieder zurückprojezieren, hast aber nicht mehr die Struktur von E.

Die Aussage, die hier stand, war scheisse. Bevor man mir auf die Finger klopft, lasse ich das lieber.

Besser?


Zuletzt bearbeitet von algebrafreak am 05 Jan 2005 - 23:02:39, insgesamt einmal bearbeitet
Physikus
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2005 - 22:58:12    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Indem Du die Norm anwendest reduzierst Du die Eigenschaften deines normierten Raumes auf die der entsprechenden Teilmenge von R. Jetzt willst Du im allerletzten Schritt die abgeleitete Eigenschaft wieder zurückprojezieren, hast aber nicht mehr die Struktur von E.

OK, jetzt hab ich's besser verstanden. Smile Vielleicht ne dumme Frage, aber wenn sowas passieren kann, wie weiß ich dann, wie ich Beweise ansetzen muss um nicht so nen Unsinn zu kriegen? Wahrscheinlich geht das nur mit Erfahrung und Vertrautheit mit den Strukturen, oder? (Da merkt man mal, wie dumm es war im Grundstudium nur die Nebenfachvorlesungen die für Physiker vorgesehen waren zu hören-da haben wir Beweise praktisch nie gemacht, sondern immer nur in der Vorlesung vorgeführt bekommen. Sad )

Zitat:
Beweis: (C,|.|) mit üblicher Norm. Sei (R',||.||) ein normierter Raum mit h : C -> R' iso. Dann ist R' = R. Das ist z.B. aufgrund der Persistenz von atomaren Formeln unter Isomorphismen für z.B. für x^2 + 1 = 0 Unsinn. fertig. Smile

Sorry, ist das Chinesisch oder so? Lange schon keinen mathematischen Text mehr gelesen, den ich so unverständlich fand... Shocked Das ist jetzt gar nicht mal gegen dich gerichtet-ich kann halt mit so Begriffen wie "Persistenz", "atomare Formeln" oder "Isomorphismen" (den Begriff hab ich zumindest schon gehört und weiß auch, dass es eine Art von linearer Abb. ist-da hört es aber auch schon auf. LinA beschränkte sich in unserer "Höheren Mathematik" auf Vektoren, analyt. Geometrie, ein bisschen Matrizen und Determinanten (incl. Eigenwerte, -vektoren) und lineare Gleichungssysteme-sowas wie "Isomorphismen" kam da nichtmal ansatzweise vor. Evil or Very Mad ) nix anfangen, da fehlen mir die Grundkenntnisse, weil ich zu faul war, richtig Mathe nebenher zu studieren, zumindest bis zum Vordiplom. Embarassed War ne ziemlich dumme (und aus der Bequemlichkeit entstandene) Entscheidung, und nun ist es zu spät, das zu ändern...
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2005 - 23:22:29    Titel:

Ok. jetzt hat man mir doch auf die Finger geklopft. Deshalb muss ich den Nachtrag bringen.

Der Beweis von vorhin war in dem Sinne Mist, da ich übersehen habe, dass normierte Räume eigentlich "2-sortige" Strukturen sind. Daher kann man x^2+1 nicht schreiben. Persistenz sagt einfach, dass Formeln aus zulässigen Gleichungen bis auf den Iso. "gleiche" Lösungen haben. Die Idee war eben x^2+1 = 0 zu bilden und zu sagen, dass die Lösungen gleich sind. Dabei habe ich übersehen, dass * in einem normierten Raum eigentlich ein * zwischen einem skalaren Element und einem aus E ist. Aus der Sicht der Algebra hätte ich die Formel x^2 +1 = 0 gar nicht bilden können, denn ich habe + und * nicht in die Sprache aufgenommen (* gibt es ja in normierten Räumen i.A. nicht).

Ich habe versucht den Beweis vernünftig zu schreiben. Der wird aber total lang und hässlich.
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2005 - 23:31:05    Titel:

Zitat:
wie ich Beweise ansetzen muss um nicht so nen Unsinn zu kriegen?


Da hilft, glaube ich, nur wirklich Augen offen zu halten, dass man keinen wirklich falschen Schritt macht (den hast Du ja nicht gemacht). Meistens, wenn man Forschung betreibt, ist sowas, wie oben, ein Hinweis auf ein Gegenbeispiel für die Aussage, die man gerade zeigen will Smile

Ich lese meine Zeug, was ich so von mir gebe oft 20-mal durch, bis mir einfällt, dass das totaler Mist ist. Sad
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Injektivität von linearen Isomorphismen
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum