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Grenzwertbestimmung mit einem Logarithmusgesetzes
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aNoPha
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Anmeldungsdatum: 06.12.2004
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2005 - 21:34:34    Titel: Grenzwertbestimmung mit einem Logarithmusgesetzes

Habe mal eine Frage:
Hatten im Studium folgende Aufgabe gerechnet, die ich aber in den einzelnen Schritten nicht ganz nachvollziehen kann.
Vielleicht kann mir hier ja jemand helfen. Das wäre wirklich klasse.

lim x^[1/(x-1)]
x->1

Von der obigen Funktion soll also der Grenzwert bestimmt werden.
Wir sollten dazu am besten das folgende Gesetz verwenden, da sich das hier scheinbar besonders gut macht:

e^(ln x)=x

Die Lösung besteht ja "nur" aus 4-5 Schritten. Wir sollten die Gleichung so umformen, dass ein Bernoulli-Fall eintritt, hier 0/0; dann ableiten. Könnte mir jemand den Lösungsweg nochmal ein bisschen ausführlicher erläutern? Ein paar Bemerkungen neben den Schritten wären klasse.

Die Lösung lautet übrigens: e^1
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2005 - 23:30:38    Titel:

Ausgangsfunktion

lim x^(1/(x-1) für x -> 1

Substitution: y = 1/(x-1), dann

lim x^(1/(x-1) für x -> 1 =

lim (1 + 1/y)^y für y -> ∞ = e

Anmerkung: da x->1 geht, geht y->∞, denn y = 1/(x-1).

Gruß
Andromeda
aNoPha
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Anmeldungsdatum: 06.12.2004
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 23:01:00    Titel: Alles klar!

Danke schön!
Hat geholfen!
slvctr
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Anmeldungsdatum: 13.12.2004
Beiträge: 17
Wohnort: dresden

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2005 - 00:43:53    Titel:

einfacher wäre folgendes:

lim ln(f(x)) = ln(x^(1/x-1))
= 1/x-1 * ln(x) => ln(x)/x-1
L'H:(1/x)/1
wg. (lim->1) : (1/x)/1 = 1

lim ln(f(x) = 1
lim (f(x) = e^1
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