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Exponentialreihe
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King Mob
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Anmeldungsdatum: 10.11.2004
Beiträge: 12
Wohnort: Kaiserslautern

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2005 - 23:54:39    Titel: Exponentialreihe

Hallo, kann mir bitte jemand Tipps geben, wie ich folgende Eigenschaften für die Exponentialreihe beweisen kann?
1) 1+x <= exp(x) für alle x in IR
2) exp(x) <= 1/(1-x) für alle x in IR mit x<1
Hat es etwa was mit der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion zu tun, und wie soll ich bei der Beweisführung vorgehen?[/u]
Physikus
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2005 - 01:09:58    Titel:

Bei 2) würde ich die Taylorreihen vergleichen-einmal ist es die bekannte Exponentialreihe, einmal die geometrische Reihe. Da sollte einem spontan was auffallen... Wink
King Mob
Newbie
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Anmeldungsdatum: 10.11.2004
Beiträge: 12
Wohnort: Kaiserslautern

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2005 - 01:30:44    Titel:

Hmm, also bei Taylorreihen sind wir noch nicht angekommen. Gibt es denn keinen anderen Lösungsweg???
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 05 Jan 2005 - 12:22:44    Titel:

Hi,

zu 1):

Behauptung für x <= -1 trivial, also x > -1:

(x >-1 und 1+x in Ungl. riecht stark nach Bernoulli, aber nehmen wir
mal deinen Tipp).
Zeige Beh. für x aus N.
Dass sollte einfach sein, da exp(1) = 2,7... und exp(x+y)=exp(x)exp(y)

Mach mal erstmal soweit.

Jockel
Andromeda
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2005 - 19:30:09    Titel:

Zu 1)




Beide Kurven berühren sich im Punkt (0,1) mit der Steigung 1.

Was man zeigen muss, ist, dass für x > 0 die Steigung der Kurve f(x) = (1+x) kleiner gleich ist als die Steigung von g(x) = e^x und dass für x < 0 die Steigung von e^x kleiner gleich ist als von (1+x)

Also

für x >= 0 muss gelten f'(x) <= g'(x) => 1 <= e^x für x >= 0

und

für x <= 0 muss gelten g'(x) <= f'(x) e^x <= 1 für x <= 0

Beweis trivial, da e^x eine streng monoton steigende Funktion ist.

Gruß
Andromeda
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