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Verhältniss zweier Körper bzw. Flächen
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Hilflos
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BeitragVerfasst am: 05 Jan 2005 - 11:23:42    Titel: Verhältniss zweier Körper bzw. Flächen

Ich war mit diesem Beispiel schon in drei Foren und keiner konnte mir helfen. Bitte versucht es. Meine größte Anerkennung dem der dieses Beispiel lösen kann.

Ein gleichschenkeliges Trapez mit dem Umfang =32cm dreht sich einmal um die eine, dann um die andere Parallelseite. Die Volumina beider Drehkörper verhalten sich wie 5:6 deren Oberfläche wie 29:35. Berechnen Sie die Länge der Seiten und der Diagonalen, ferner die Winkel an den Eckpunkten und zwischen den Diagonalen
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2005 - 15:27:45    Titel:

Die Lösung ist etwas länger, aber das hast Du sicherlich erwartet.

Zunächst mal die Bennenung des Trapezes:
a ist die lange parallele Seite
c ist die kurze parallele Seite
a-c = 2d, d kann somit von einer Ecke der Seite a abgetragen werden, wodurch sich mit einem Ende von c ein rechtwinkliges Dreieck ergibt.
b sind die beiden weiteren Seiten
alpha ist der Winkel zwischen a und b
h ist der Abstand zwischen a und c
e ist die Diagonale (sind ja beide gleich)
Der Schnittpunkt S der beiden Diagonalen teilt diese in zwei Teile e1 und e2, wobei e1 der dichter an a ist, also der größere.
Die Mitte von a heißt H und ein Ende von a soll A sein. Dann ist das Dreieck AHS rechtwinklig und der Winkel bei S sei gamma und ist halb so groß wie der Schnittwinkel beider Diagonalen.

Bei Rotation um die kürzere Seite c ergibt sich:
V1 = Zylinder mit der Höhe a minus zwei Pyramiden mit der Höhe d
V1 = a*h²*PI - 2 * 1/3 *d*h²*PI
V1 = (c+2d)*h²*PI - 2 * 1/3 *d*h²*PI
V1 = c*h²*PI + 4/3 *d*h²*PI

O1 = Mantelfläche des Zylinders mit der Höhe a und die Mantelfläche der inversen Kegelspitzen
O1 = Mantelfläche des Zylinders mit der Höhe a und die Mantelfläche der Kegelspitzen
O1 = a*2*h*PI + h*b*PI


Bei Rotation um die längere Seite a ergibt sich:
V2 = Zylinder mit der Höhe c plus zwei Pyramiden mit der Höhe d
V2 = c*h²*PI + 2 * 1/3 *d*h²*PI

O2 = Mantelfläche des Zylinders mit der Höhe c und die Mantelfläche der Kegelspitzen
O2 = c*2*h*PI + h*b*PI


V1 / V2 = 6 / 5 ==> 6*V2 = 5*V1
6*c*h²*PI + 12/3 *d*h²*PI = 5*c*h²*PI + 20/3 *d*h²*PI
c*h²*PI = 8/3 *d*h²*PI
c = 8/3*d
d = 3/8*c
a = c+2d = c+2*3/8*c = 7/4*c

O1 / O2 = 35 / 29 ==> 35*O2 = 29*O1
70*c*h*PI + 35*h*b*PI = 58*a*h*PI + 29*h*b*PI
70*c*h*PI + 6*h*b*PI = 58*a*h*PI
mit a = 7/4*c
140/2*c*h*PI + 6*h*b*PI = 203/2*c*h*PI
6*h*b*PI = 63/2*c*h*PI
6*b = 63/2*c
b = 63/12*c


Der Dreiecksumfang ist gegeben mit 32
a+2b+c = 32
7/4*c + 2*63/12*c + c = 32
21/12*c + 2*63/12*c + 12/12*c = 32
c = 384/159

Damit sind auch a, b und d bekannt.


alpha ist arccos(d/b)
beta = 180-alpha

e = Wurzel( (c+d)²+h² )
mit h² = b²-d²
e = Wurzel( (c+d)²+b²-d² )

e1 / e2 = a / c (Strahlensatz)
e1 + e2 = e
Damit kann man e1 bestimmen

gamma = arcsin( (a/2)/e )
Und damit ist der Schnittwinkel beider Diagonalen: 2*gamma = 2*arcsin( (a/2)/e )
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