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K_13: Vollstaendige Induktion - Ungl.
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> K_13: Vollstaendige Induktion - Ungl.
 
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Jonsy
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Anmeldungsdatum: 11.02.2007
Beiträge: 3098

BeitragVerfasst am: 19 Apr 2007 - 21:22:48    Titel: K_13: Vollstaendige Induktion - Ungl.

Jippi, morgen Matheabi und eig. bin ich vorbereitet und mir geht auch das meiste leicht von der Hand. Bis auf...
Vollstaendige Induktion mit Ungleichungen. Ich komme da irgendwie zu keinem Abschluss bzw. find einfach keine korrekte, akzeptable Begruendung.
Folgendes Beispiel:
2^n > n³ fuer n>=10
...
bla bla gilt fuer 10 und hier Voraussetzung und Zeug und so...
-> (n+1)^3 - 2^(n+1) = .... = n³+3n²+3n-2^n * 2 < 0 ....

Und nun? Very Happy Wann ist der Beweis zuende?

Gruesse,
Jonsy
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 19 Apr 2007 - 21:30:04    Titel:

Der Beweis ist zu Ende, wenn du das zu zeigenede bewiesen hast.

Viele Grüße, Cyrix
Jonsy
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Anmeldungsdatum: 11.02.2007
Beiträge: 3098

BeitragVerfasst am: 19 Apr 2007 - 21:35:18    Titel:

Hm, deine Aussage ist sehr praezise und zu nichts zu gebrauchen... Du musst ein Mathematiker sein!... Smile
Nein, das spiegelt nicht meine Meinung wieder, ich erinnere mich nur an einen Scherz...

Leider weiss ich nicht, wie ich weiter verfahren soll ab dieser Stelle.

Gruesse,
Jonsy
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 19 Apr 2007 - 21:41:57    Titel:

Na 2^(n+1)=2*2^n>2*n^3. Es genügt also zu zeigen, dass 2*n^3>(n+1)^3=n^3+3*n^2+3*n+1 ist, d.h. es genügt zu zeigen, dass

n^3>3*n^2+3*n+1 ist.

Wegen n>1 ist n^2>n>1, und also 7*n^2>3*n^2+3*n^2+1*n^2>3*n^2+3*n+1.

Es genügt also zu zeigen, dass n^3>7*n^2 ist, d.h. es genügt wegen n>0 zu zeigen, dass n>7 ist. n ist >=10, was zu beweisen wahr.


Viele Grüße, Cyrix
someDay
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 19 Apr 2007 - 21:46:06    Titel:

2^n > n^3. Nehmen wir an, das stimmt, und zeigen:

2^(n+1) = 2 2^n > 2 n^3 = n^3 + n^3 > n^3 + 9n^2 = n^3 + 3n^2 + 6n^2 > n^3 + 3n^2 + 3n + n > n^3 + 3n^2 + 2n + 1 = (n+1)^3, weil n^3 >= 10 * n^2 fuer n>=10, und 6n^2 >= 60n > 4n fuer n >= 10, und 4n > 1 fuer n>=10.

Nachdem es fuer n = 10 stimmt, ist es wahr fuer alle n, da wir ausgehend von der Korrektheit fuer n die Korrektheit fuer n+1 gezeigt haben.

sD.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 19 Apr 2007 - 21:48:25    Titel:

Ich bin eh für das typische, in Papers nachzulesende "proof: Follows by induction. \qed. Smile


Viele Grüße, Cyrix
someDay
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 19 Apr 2007 - 21:51:48    Titel:

cyrix42 hat folgendes geschrieben:
Ich bin eh für das typische, in Papers nachzulesende "proof: Follows by induction. \qed. Smile


Das ist nur auf Platz 2, auf Platz 1 ist eindeutig "clearly"!

sD.
Jonsy
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Anmeldungsdatum: 11.02.2007
Beiträge: 3098

BeitragVerfasst am: 19 Apr 2007 - 21:54:57    Titel:

Danke euch beiden.
Der meines Chemielehrers, der ebenfalls Mathelehrer ist gefaellt mir ebenfalls sehr: "Ind.bew.: Sieht man ja, ist trivial ->q.e.d" (was er auch so an die Tafel schreibt)

Jedenfalls danke... Haben das irgendwann mal gemacht aber ich konnte mich ueberhaupt nicht mehr an die Verfahrensweise erinnern Wink

Gruesse,
Jonsy
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