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Taylorpolynome
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Gast







BeitragVerfasst am: 06 Jan 2005 - 11:41:07    Titel: Taylorpolynome

Hallo!

Ich komme mit einer Aufgabe nicht weiter, es stimmt fast, aber nicht ganz. Es geht um Taylorpolynom ln(1+x) mit der Stelle x0=1.

Meine bisherigen Bemühungen:

Aufgabe 1:

Approximieren Sie die Funktion an der Stelle durch ein Taylorpolynom 5. Ordnung.

Erste 5 Ableitungen:
f(x)=ln(1+x)
f´(x)=(1+x)^-1
f´´(x)=-(1+x)^-2
f´´´(x)=2(1+x)^-3
f´´´´(x)=-6(1+x)^-4
f´´´´´(x)=24(1+x)^-5

Stelle x0=1 für x in die Ableitungen einsetzen:

f(1)=ln(2)=0,693 (sagt mein Taschenrechner)
f´(1)=(2)^-1=0,5
f´´(1)=-(2)^-2=-0,25
f´´´(1)=2(1+x)^-3=0,25
f´´´´(1)=-6(2)^-4=-0,375
f´´´´´(1)=24(2)^-5=0,75

Ausrechen von ln(2) für x0=1, h=1 und T=0:

ln(x0+h)=ln(x0)+h*1/x0-h^2/2!*1/x0^2+h^3/3!*2/x0^3-h^4/4!*3/x0^4+h^5/5!*4/x0^5-Rest

ln(2)=0,74

Rest=h^4/4!*f´´´´(x0)=1/24*3/8=1/64

0,73 < ln(2) < 0,74

Stimmt aber leider nicht mit 0,694 überein wo habe ich meinen Denkfehler???

Vielen Dank für eure Bemühungen.

MfG
Daniel




Abschätzen des Restes für , und [/i]
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 07 Jan 2005 - 01:02:05    Titel: Re: Taylorpolynome

Anonymous hat folgendes geschrieben:

f(1)=ln(2)=0,693 (sagt mein Taschenrechner)
f´(1)=(2)^-1=0,5
f´´(1)=-(2)^-2=-0,25
f´´´(1)=2(1+x)^-3=0,25
f´´´´(1)=-6(2)^-4=-0,375
f´´´´´(1)=24(2)^-5=0,75

Ausrechen von ln(2) für x0=1, h=1 und T=0:

ln(x0+h)=ln(x0)+h*1/x0-h^2/2!*1/x0^2+h^3/3!*2/x0^3-h^4/4!*3/x0^4+h^5/5!*4/x0^5-Rest

ln(2)=0,74

Rest=h^4/4!*f´´´´(x0)=1/24*3/8=1/64

0,73 < ln(2) < 0,74

Stimmt aber leider nicht mit 0,694 überein wo habe ich meinen Denkfehler???


So wie ich das sehe, willst Du ln(2) über Taylorreihe bestimmen, wobei ln(1) = 0 als bekannt vorausgesetzt wird.

Der 1. Fehler

ln(x0+h)=ln(x0)+h*1/x0-h^2/2!*1/x0^2+h^3/3!*2/x0^3-h^4/4!*3/x0^4+h^5/5!*4/x0^5-Rest

muss lauten

ln(x0+h)=ln(x0)+h*1/x0-h^2/2!*1/x0^2+h^3/3!*2/x0^3-h^4/4!*6/x0^4+h^5/5!*24/x0^5-Rest

Das Ergebnis ist dann 0,783

Der 2. Fehler (bin allerdings nicht sicher, wie Du die Restabschätzung machst)

Rest=h^4/4!*f´´´´(x0)=1/24*3/8=1/64

muss lauten

Rest=h^4/4!*f´´´´(x0)=1/24*6=1/4

Dann ist 0,533 < ln(2) < 0,7833

Gruß
Andromeda
Gast







BeitragVerfasst am: 07 Jan 2005 - 10:26:56    Titel: Taylorpolynom

Hallo!

Herzlichen Dank Andromeda! Ja so sieht die Aufgabe völlig richtig aus *freu*.

MfG
Daniel
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