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Normierter Raum
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wehm
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Anmeldungsdatum: 08.02.2007
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2007 - 09:10:42    Titel: Normierter Raum

Hoi.

Ich soll zeigen dass ||(x1,x2,...,xn)|| eine Norm auf R^n ist.
Dazu betrachte ich die Regeln
1) ||0|| = 0 und ||x|| > 0 für x != 0
2) ||ax|| = |a| ||x||
3) ||x+y|| < = ||x||+||y||

Lösungsansatz
1)gilt, is mir logisch aber Nachweis?
2)Kann ich das a nicht als Vorfaktor nehmen u nd ||x|| als Summe schreiben. Dann das a einfach vor die Summe ziehen?

3)Dreiecksungleichung. ||x||= ||(x1,x2,...,xn)|| und ||y||=||(y1,y2,...,yn)||
||(x1+y1, x2+y2,....,xn+yn)|| < = || (x1,x2,...,xn)||+ ||(y1,y2,...,yn)||
Damit jetz auf Gültigkeit zuschließen kann ich aber nicht.

Gruß,
Wehm
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24252

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2007 - 09:44:12    Titel:

Wir schaut denn deine Norm nun konkret aus, also wie berechnet sich ||x|| aus x bzw. seinen Komponenten? Ohne diese Angabe, ist die Aufgabe witzlos...


Viele Grüße, Cyrix
wehm
Newbie
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Newbie


Anmeldungsdatum: 08.02.2007
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2007 - 10:18:52    Titel:

Die Norm ist einfach ||.||1
Mit der Definition, dass ||(x1,x2,...,xn)||:= Summe |x
k| von k=1 bis nach n.

Sorry dass das verschwiegen wurd
tamptus
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Junior Member


Anmeldungsdatum: 09.03.2007
Beiträge: 66

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2007 - 10:55:34    Titel:

Ich mach mal die 2. Hälfte von 1):

zunächst muß man beweisen ( mit vol. Ind.) :
Für alle i mit 1<= i <= n gilt : |xi| <= summe |xk| von k=1 bis n
Wenn man das hat geht es so:
x != 0 => Es gibt ein i mit xi != 0
=> |xi| > 0
dann haben wir :
summe |xk| von k=1 bis n >= |xi| > 0
also:
summe |xk| von k=1 bis n > 0

Tamptus
wehm
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Anmeldungsdatum: 08.02.2007
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2007 - 13:38:12    Titel:

danke.

Wie beweist man aber 2) bei der Maximumsnorm?

||ax||_unendlich = a ||x||_unendlich.

Maximumsnorm is max(|x1|,|x2|,|x3|,....|xn|)

Umschreiben soll ich ja jetz max(a|x1|,a|x2|,a|x3|,....a|xn|)
Nun gilt doch das ich das a ausklammern kann? a*max(|x1|,|x2|,|x3|,....|xn|)

was zu zeigen war
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