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Winkelfunktionen
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m_1337
Gast






BeitragVerfasst am: 06 Jan 2005 - 18:00:24    Titel: Winkelfunktionen

Hallo!

Folgende Folge:
x(0)=x (-1<x<1)

x(n+1)=Wurzel((1+x(n))/2)

Ich soll nun zeigen, dass der limes n gegen undendlich von

2^(n+1)*Wurzel((1-x(n))/2)

existeirt und ihn berechnen und dann noch eine geometrische Interpretation geben, ich weiß aber nicht, wie ich das angehen soll, kann mir bitte jemand helfen?

Ich bin schon so weit:

sin(x/2)=Wurzel((1-cos(x))/2)
cos(x/2)=Wurzel((1+cos(x))/2)

So kann ich die Rekursion umgehen, doch wie zeige ich dann das der Grenzwert existiert und wie berechne ich ihn?

Danke
Michael
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 06 Jan 2005 - 21:49:14    Titel: Re: Winkelfunktionen

m_1337 hat folgendes geschrieben:

Ich bin schon so weit:


cos(x/2)=Wurzel((1+cos(x))/2)
So kann ich die Rekursion umgehen, doch wie zeige ich dann das der Grenzwert existiert und wie berechne ich ihn?

Danke
Michael


Hier nur mal zu Deiner zweiten Gleichung

cos(x/2)=Wurzel((1+cos(x))/2)


mit x(0) = cos(x), somit
ist x(1) = cos(x/2)

Dann sind die Folgenglieder

x(n) = cos(x/n²)

Für n -> unendlich geht x/n² gegen 0 im Bereich (-1<x<1) ,
damit geht cos(x/n²) gegen 1 im Bereich (-1<x<1).

Also ist der Grenzwert von x(n) = 1 für n-> unendlich.

Gruß
Andromeda
m_1337
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Jan 2005 - 12:40:43    Titel:

Erstmal danke für deine Mühe.

Ich komme aber immer nur auf x(n)=cos(x/2^n), aber is ja egal, der Grenzwert ist trotzdem 1.

Aber ich suche leider nicht den Grenzwert dieser Funktion, sondern den limes n gegen unendlich von

limes(2^n*Wurzel((1-x(n))/2)

Wenn ich jetzt eine solche Folge a(n) mache, dann kommt bei mir raus:

a(n)=2^(n+1)*sin(x/2^(n+1))

Von dieser Folge brauche ich nun den Grenzwert, aber ich weiß nicht, wie ich ihn berechnen soll.

Kannst du mir vielleicht hier nochmal helfen?

Danke
Michael
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 07 Jan 2005 - 13:51:47    Titel:

m_1337 hat folgendes geschrieben:

Ich komme aber immer nur auf x(n)=cos(x/2^n), ...


Du hast natürlich Recht, das war natürlich mal wieder einer meiner Nachlässigkeitstippfehler. Werde in Zukunft auf solche Dreher besser aufpassen.

Was den Grenzwert angeht, werde ich drüber nachdenken, komme aber erst heute Abend dazu.

Gruß
Andromeda
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 07 Jan 2005 - 20:10:09    Titel:

m_1337 hat folgendes geschrieben:

Wenn ich jetzt eine solche Folge a(n) mache, dann kommt bei mir raus:

a(n)=2^(n+1)*sin(x/2^(n+1))



Also, wenn Deine Folge a(n) korrekt ist, dann ist der Grenzwert einfach zu bestimmen.

für n -> ∞ geht x/2^(n+1) gegen 0. Wenn das Argument des sin aber gegen 0 geht, dann kann man den sin gleich dem Argument setzen.

für x/(2^(n+1) -> 0 ist sin(x/2^(n+1)) = x/2^(n+1)

Damit ist für n -> ∞ dieFolge

a(n) = 2^(n+1) * x/2^(n+1) = x

Es ist dann der Grenzwert von a(n) = x (= Winkelhalbierende, s. Bild)



Gruß
Andromeda
m_1337
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Jan 2005 - 22:41:25    Titel:

Danke, super Information, ich verstehe auch alles, doch warum kann man das Argument des sin gleich dem sin setzen, wenn das Argument gegen 0 geht?

Wäre nett, wenn du mir das sagen könntest!

Danke
Michael
Andromeda
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 07 Jan 2005 - 22:54:42    Titel:

m_1337 hat folgendes geschrieben:
Danke, super Information, ich verstehe auch alles, doch warum kann man das Argument des sin gleich dem sin setzen, wenn das Argument gegen 0 geht?

Wäre nett, wenn du mir das sagen könntest!

Danke
Michael


Am besten, Du schaust Dir das am Einheitskreis. Für kleine Winkel x gilt näherungsweise (haben wir als erstes in der Schule bei Trigonometrie gelernt)

sin(x) = x = tg(x)

Beispiel:
Code:

x       = 0.001
sin(x)  = 0.0009999998333
tg(x)   = 0.001000000333


Du siehst, die Abweichungen sind prozentual jetzt im Bereich von Millionstel.

Gruß
Andromeda
m_1337
Gast






BeitragVerfasst am: 08 Jan 2005 - 14:18:39    Titel:

Danke, ja ist natürlich klar. Denn wenn x(n) gegen 0 geht, geht auch sin(x(n)) gegen 0, dadurch kann ich die beiden Grenzwerte gleichsetzen und statt bei sin(x(n)) einfach x(n) das n gegen unendlich gehen lassen.

Danke
Michael
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