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beweis von AxB = leere menge
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Gast







BeitragVerfasst am: 06 Jan 2005 - 18:38:04    Titel: beweis von AxB = leere menge

hi,

kann mir jemand helfen, wie ich folgendes beweisen kann?

AxB = leere menge <=> (A = leere menge) oder (B = leere menge)

wenn ich annehme, dass A nichtleer ist und B auch nicht leer, muss ich dann das "oder" umdrehn?
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 06 Jan 2005 - 18:57:15    Titel:

Sei AxB leer und A nicht leer => es gibt ein a aus A.
Wäre B nicht leer, gäbe es also ein b aus B, dann wäre (a,b) aus AxB und damit AxB nicht leer => Widerspruch. Folglich ist B leer.

Sei AxB leer und B nicht leer => es gibt ein b aus B.
Wäre A nicht leer, gäbe es also ein a aus A, dann wäre (a,b) aus AxB und damit AxB nicht leer => Widerspruch. Folglich ist A leer.

also AxB leer => A leer oder B leer.


Sei A leer => AxB = {(a,b) | a aus A, b aus B} = leer, denn für alle (a,b) ist a nicht aus A.

Sei B leer => AxB = {(a,b) | a aus A, b aus B} = leer, denn für alle (a,b) ist b nicht aus B.

also A leer oder B leer => AxB leer oder AxB leer => AxB leer

q.e.d.
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