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Matthias20
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BeitragVerfasst am: 07 Jan 2005 - 12:14:10    Titel: eFunktion

Hi Mathefans,

ich habe hier eine Aufgabe zu einer e-Funktion und wiess nicht, ob ich nur ein Brett vorm Kopf habe, oder ob mir wirklich ein Wert fehlt.

Sie lautet wie folgt:

Bestimmen Sie den Berührpunkt und die Tangente an die Kurve, die durch den Ursprung O(0/0) geht.
f(x) = x + e^x

Mein Problem hier ist, dass die Funktion nicht durch O geht, sprich ich kann hier keine Steigung berechnen.
Wenn ich f(x) ableite und als Steigung definiere, bekomme ich keine Tangente und den Berührpunkt läßt sich nicht bestimmen, da die Gleichung dann 0=0 lautet. Ist zwar dann bewiesen, dass eine Beruehrung stattfindet, aber der Punkt...

Waere klasse, wenn mir jemand helfen koennte.

Danke und Gruss:




Matthias
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 07 Jan 2005 - 12:59:41    Titel:

Die Tangente an einem Punkt (x0,f(x0)) hat die steigung
f'(x0) = 1 + e^x0

Allgemein hat eine Gerade die gleichung y = m x + c.
Also hier: y = f'(x0) x +c = x + x e^x0 + c

Einsetzten des Punktes (x0,f(x0)) durch den die tangente geht, ergibt:
f(x0) = x0 + x0 e^x0 + c
x0 + e^x0 = x0 + x0 e^x0 + c
c = (1-x0) e^x0

Damit kriegst du dann auch die allgemeine Tangentengleichung für die Tangente im Punkt (x0,f(x0)):
y = x + x e^x0 + (1-x0) e^x0 = x + (x-x0+1) e^x0

c ist der y-Achsenabschnitt der Geraden. Damit die Gerade durch den Ursprung geht muss c=0 sein.

(1-x0) e^x0 = 0

da e^x0 niemals 0 werden kann muss 1-x0 = 0 sein.

also x0 = 1

Die Tangentengleichung lautet dann:

y = x + x e^1 = (1+e) x
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