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Auszug einer Kurvendiskussion
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Auszug einer Kurvendiskussion
 
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Wildeblood
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Jan 2005 - 13:05:26    Titel: Auszug einer Kurvendiskussion

Ein Hallo an alle Mathe-Menschen ich hoffe ihr könnt mir mit dieser Aufgabe hier weiterhelfen:

Für alle t Element R*

ft(x) = tx^4 - 2x^3 - (t - 2)x²

(a) weisen Sie nach, dass es drei Punkte gibt, die auf allen Kt liegen.
(b) Bestimmen sie die Anzahl der Extrempunkte in Abhängigkeit von t

ich hoffe ihr könnt mir helfen!!!!!
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2005 - 12:37:41    Titel:

Die Funktion

ft(x) = tx^4 - 2x^3 - (t - 2)x²

lässt sich umformen in

f(x) = t*(x^4 - x²) -2*x²*(x-1)

2 Nullstellen sind klar:

1. x = 0

2. t*(x^4 - x²) = 2*x²*(x-1) => x=1

Diese sind unabhängig von t. Die anderen kannst Du einfach berechnen indem Du (fx) = 0 setzt.

Für die Punkte x, an denen f(x) für alle Kt gleich ist, muss an diesen Stellen die Funktion unabhängig von t sein, das heißt

t*(x^4 - x²) gleich 0, das gilt an den Stellen

x=-1, x=0, x=1



Für den 2. Teil der Aufgabe habe ich im Moment keine Zeit mehr, später dann.

Gruß
Andromeda
Wildeblood
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Anmeldungsdatum: 07.01.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 17:50:13    Titel:

wow danke für die Hilfe..... ihr seid echt professionell hier

@Andromeda
-DANKE- das du dir so viel mühe gemacht hast
jetzt bin ich aufjedenfall einen Schritt weiter gekommen

Thx

Very Happy
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 19:05:21    Titel:

Zu Teil b)

Extremstellen heißt 1. Ableitung ft'(x) = 0

ft(x) = t*x^4 - 2*x^3 - (t - 2)x² =>
ft'(x) = 4*t*x^3 - 6*x^2 - 2*(t-2)*x
________________________________________

1. Sonderfall t = 0 => Term mit x^4 fällt weg

Wenn t = 0 dann ist

ft'(x) = -6*x^2 + 4*x = 0 =>

1. Nullstelle bei x=0
2. Nullstelle bei x = 2/3

Für t = 0 hat die Funktion also 2 Extremstellen (bei x = 0 und x = 2/3).
________________________________________

2. Sonderfall t = 2 => Term mit x^2 fällt weg

Wenn t = 2 dann ist

ft'(x) = -8*x^3 - 6*x2 = 0 =>

1. Nullstelle bei x=0 (Achtung, an dieser Stelle nur Waagepunkt, da ft''(0) = 0)
2. Nullstelle bei x = 3/4

Für t = 2 hat die Funktion also 1 Extremstelle (x = 3/4).
________________________________________

Für t ungleich 0 und ungleich 3 ist ft'(x) ein Polynom 3. Ordnung und für eine Extremstelle muss gelten
ft'(x) = 4*t*x^3 - 6*x^2 - 2*(t-2)*x = 0

Diese Gleichung kann man nach Standardmethoden auflösen. Es müssten jeweils 3 Extremstellen existieren.

Gruß
Andromeda
Mirow
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Anmeldungsdatum: 20.12.2004
Beiträge: 82

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 19:16:13    Titel: Re: Auszug einer Kurvendiskussion

Wildeblood hat folgendes geschrieben:
Ein Hallo an alle Mathe-Menschen ich hoffe ihr könnt mir mit dieser Aufgabe hier weiterhelfen:

Für alle t Element R*

ft(x) = tx^4 - 2x^3 - (t - 2)x²

(a) weisen Sie nach, dass es drei Punkte gibt, die auf allen Kt liegen.
(b) Bestimmen sie die Anzahl der Extrempunkte in Abhängigkeit von t

ich hoffe ihr könnt mir helfen!!!!!


zu b)
ft'(x) = 4tx^3 - 6x^2 - 2(t - 2)x
ft'(x) = 0 (notwendige Bedingung für eine Extremstelle)
0 = 4tx^3 - 6x^2 - 2(t - 2)x (x ausklammern)
0 = x(4tx^2 - 6x - 2t + 4)
x1 wäre also 0 (ist aber unabhängig von t) -> siehe auch Aufgabe a

0 = 4tx^2 - 6x - (2t + 4) | :4t
0 = x^2 - (6/4t)x - (1/2 + 1/t)

quadratische Formel anwenden... dann bekommst Du wahrscheinliche zwei weitere Extremstellen in Abhängigkeit von t. Die mußt Du noch über die 2. Ableitung überprüfen (hinreichende Bedingung)

Ich hab jetzt auch gerade keine Zeit mehr.
Mirow
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Anmeldungsdatum: 20.12.2004
Beiträge: 82

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 20:15:59    Titel:

Andromeda hat folgendes geschrieben:

Für t ungleich 0 und ungleich 3 ist ft'(x) ein Polynom 3. Ordnung und für eine Extremstelle muss gelten
ft'(x) = 4*t*x^3 - 6*x^2 - 2*(t-2)*x = 0

Diese Gleichung kann man nach Standardmethoden auflösen. Es müssten jeweils 3 Extremstellen existieren.

Gruß
Andromeda


Wobei aber 1 Extremstelle immer 0 ist. Diese ist unabhängig von t. Also bleiben 2 von t abhängige übrig. und mehr als die Anzahl ist ja nicht gefragt...
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 20:25:17    Titel:

@Mirow

Mirow hat folgendes geschrieben:

... und mehr als die Anzahl ist ja nicht gefragt...

Vielleicht solltest Du die Aufgabe mal genauer lesen. Gesucht ist die Anzahl A der Extremstellen in Abhängigkeit von t. Also A(t) und dabei ist

A(0) = 2
A(2) = 1
A(sonst) = 3

Gruß
andromeda
Wildeblood
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Anmeldungsdatum: 07.01.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 20:29:34    Titel:

ahhh ich Danke euch ..... ich form immer falsch um, und bleib stecken.

Die klammern richtig zu setzen, scheint mein Hauptproblem zu sein....
lol als ich das Bild gesehen hab, ist mir aufgefallen das ich in dieser Aufgabe den Taschenrechner hätte benutzen können (TI-83+)

mit dem ist die Aufgabe ansich kein problem....

Aufjedenfall weiß ich jetzt wieder wie man solche Aufgaben löst

DANKE
Wildeblood
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Anmeldungsdatum: 07.01.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 20:31:40    Titel:

zu b.)

in meiner lösung steht

t<(oder gleich) 7/8: 1 EP, sonst drei


Zuletzt bearbeitet von Wildeblood am 09 Jan 2005 - 20:32:51, insgesamt einmal bearbeitet
Mirow
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Anmeldungsdatum: 20.12.2004
Beiträge: 82

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 20:32:42    Titel:

Andromeda hat folgendes geschrieben:
@Mirow

Mirow hat folgendes geschrieben:

... und mehr als die Anzahl ist ja nicht gefragt...

Vielleicht solltest Du die Aufgabe mal genauer lesen. Gesucht ist die Anzahl A der Extremstellen in Abhängigkeit von t. Also A(t) und dabei ist

A(0) = 2
A(2) = 1
A(sonst) = 3

Gruß
andromeda


Jepp, hast recht... Kann man aber auch missverstehen. Jedenfalls ich Wink
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