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substitution(?)
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michaela1983
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Jan 2005 - 21:31:01    Titel: substitution(?)

hi leute,

da ihr mir heute schon mal geholfen habt, hoffe ich ihr könnt mir hier auch weiterhelfen....



wie geht das ineinander über? durch substitution? ich hab versucht sin(x) irgendwie zu substituieren, aber das funktioniert nicht...vielleicht weiß jemand von euch ja bescheit, danke im voraus...

gruß
micha
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 07 Jan 2005 - 22:46:35    Titel:

Kein Problem.

Allerdings kann ich die Grafik nicht so doll darstellen, muss Dich halt ein bisschen eingewöhnen.

Substitution (hast schon Recht gehabt):

t = cos(x), dann ist die Ableitung

dt/dx = -sin(x) =>

dt = -sin(x) dx

Das Integral von

(1 – t²)^(n-1)/2 dt = (1 – cos²(x)) ^(n-1)/2 * -sin(x) dx

(Stör Dich nicht an dem Minus-Zeichen, das fällt später weg).

Es gilt auch (muss glaube ich nicht bewiesen werden):

(1 –cos²(x)) = sin²(x)

dann steht im Integral

∫(sin²(x)) ^(n-1)/2 * -sin(x) dx =

∫(sin(x)) ^(n-1) * -sin(x) dx =

-∫(sin(x))^n dx


Die Grenzen:

Obere Grenze 1 = cos(x) => x = 0
Untere Grenz -1 = cos(x) => x = π (das ist ein Pi)

Also ist das Integral

0
–∫(sin(x))^n dx
π


Jetzt obere und untere Grenze vertauschen ergibt als Ergebnis, da das Minuszeichen entfällt

Π
∫(sin(x))^n dx
0


Das ist das gewünschte Ergebnis.


Gruß
Andromeda
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