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inverse Matrix - Lineares Gleichungsystem
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ManuelGast
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BeitragVerfasst am: 07 Jan 2005 - 22:11:55    Titel: inverse Matrix - Lineares Gleichungsystem

Hallo!

Ich hab ein kleines Problem (Schreibe gerade für mein Mathematik-Spezialgebiet für die Matura):
Beispiel: Löse das gegebene lineare Gleichungssystem mit Hilfe der inversen Matrix A^(-1) ausgehend von der Matrizengleichung A · X = B.
x + 3y + 3z = 2
x + 4y + 3z = 2
x + 3y + 4z = 1
______________

Mit Derive hab ich das schon irgendwie gelöst. Lösung ist (5|0|-1).

Ich habe drei Matrizen erstellt:
........1 | 3 | 3.......... x................ 2
A = (1 | 4 | 3) , X = (y) und B = (2)
........1 | 3 | 4.......... z ............... 1

Dann Matrizengleichung umformen:
A · X = B
X = B/A
X = B · A^(-1) ???? Kommt da jetzt das oder X = A^(-1) · B ???

Jedenfalls bekomme ich beim Einsetzen von X = A^(-1) · B bei Derive die richtigen Lösungen heraus, bei X = B · A^(-1) aber unlösbar. Ich weiß, dass bei Matrizen das Kommutativgesetz nicht gilt, aber die Folge von B/A ist doch, dass man A aus dem Nenner "heraushebt" und es "-1 setzt".. So wäre nach meiner These B · A^(-1) auch richtig. Warum ist es aber falsch. Gibt es eine Erklärung?
Danke und liebe Grüße,
Manuel

PS: Ich hoffe, dass es mit den Leerzeichen funktioniert.... Embarassed
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2005 - 00:09:35    Titel:

A·B ist allgemein nicht B·A !
Deshalb wird das wie folgt gelöst
A · X = B
A^(-1) · A · X = A^(-1) · B
X = A^(-1) · B
Es muss also auf beiden Seiten der Gleichung einen Matritzenoperation rechts- oder linksseitig durchgeführt werden.
Aus A · X · A^(-1) = B · A^(-1) darf links nicht A mit A^(-1) "gekürzt" werden.

Was meinst Du denn mit B/A ??? Matritzen kann man meines Wissens nach nur multiplizieren.
TimWischmeier
Junior Member
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Junior Member


Anmeldungsdatum: 07.11.2004
Beiträge: 70

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2005 - 17:14:21    Titel:

Das "hoch minus eins" an einer Matrix ist zu Anfang oft irreführend, es ist nämlich nicht verwendbar wie die normalen Potenzen sondern bedeutet einfach nur "inverse Matrix". Das Rechenverfahren für eine inverse Matrix:

Matrix A und Einheitsmatrix nebeneinander schreiben, dann mit Zeilnumformungen (z.b. das -2-fache der 3. Zeile zur ersten addieren) A zur Einheitsmatrix machen und simultan diese Umformungen an der Einheiutsmatrix daneben durchführen, dann ist die ehemalige einheitsmatrix nachher A^-1
ManuelGast
Gast






BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 00:25:51    Titel: Matrizengleichung

Hallo!

Danke für die Antworten!!!!

Also wäre es in diesem Beispiel jetzt richtig, die Matrizengleichung A * X = B so umzufrmen, dass X auf der linken Seite steht? also so:

A * X = B............................|* A^(-1)
A^(-1) * A * X = A^(-1) * B
E * X = A^(-1) * B
X = A^(-1) * B

A^(-1) * A = E (Einheitsmatrix) stimmt das? Und die Einheitsmatrix hat eben den Wert 1 und ist daher bei 1 * X wegzulassen => X

Ist das, wie ich das oben beschrieben habe richtig bzw. zulässig (ich meine so die dritte Zeile, weil der Rest ist ja von Thomas_Da abgeschrieben)??
Lösung würde ja beim Einsetzen die richtige ergeben....

Warum wird in der ersten Zeile
A^(-1) * B
und nicht
B * A^(-1)
verwendet? Warum zuerst A^(-1) und nicht danach? Gibt es da eine Regel, weil A*B ist ja was anderes als B*A...

Danke und liebe Grüße,
Manuel
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