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Gleichverteilung auf dem Einheitskreis
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BIber
Gast






BeitragVerfasst am: 08 Jan 2005 - 00:41:15    Titel: Gleichverteilung auf dem Einheitskreis

Hallo, kann mir jemand helfen?!

Der zufällige Vektor (X,Y) sei gleichverteilt auf dem Einheitskreis K = {(x,y) aus R²; x²+x² =< 1}
a) Berechne Die Dichte von X sowie von Y
b) Berechnen sie den Erwartungswert des FLächeninhaltes des Rechteckes mit den Eckpckten (0,0); (0,Y); (X,0) und (X,Y)
c) Berechne die Kovarianz von X und Y.

ich versuchs weiterhin, aber vielleicht kann mir dennoch jemand helfen
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2005 - 10:36:31    Titel:

Zur Vereinfachung wird nur der Bereich mit x>0 betrachtet.
Anstelle der Dichte kann man zunächst auch die Verteilungsfunktion aufstellen. Und diese ist abhängig von der Fläche.
y = Wurzel(r²-x²) = Wurzel(1-x²)

VF = 2 / PI * Int_von_0_bis_x( Wurzel(1-u²) )du
Der Faktror 2 kommt daher, dass es einen oberen und einen unteren Kurventeil gibt. Und da das Integtal von 0 bis 1 nur 0,5 geben darf, muss durch den Flächeninhalt des ganzen Kreises dividiert werden, oder einfach 2 mal dem Integral von 0 bis 1.

Diese Funktion Abgeleitet bildet die Dichtefunktion für x>0, ist aber wg. Symmetrie auch für x<0 zu verwenden.

b) und c) sind anscheinend noch schwerer.
BIber
Gast






BeitragVerfasst am: 08 Jan 2005 - 12:33:05    Titel:

Achso ist das!
Aber etwas leuchtet mir nicht ein bei der Verteilungsfunktion, muss ich das nicht abändern wegen der Sym. noch mal durch 2 teilen???
Es muss gelten: P(-1=<X=<1) = F(1) = 1
Krieg bei dir raus: P(0=<X=<1) = 1 = P(-1=<X=<0) d.h. zusammen gleich 2
hab ich was falsch verstanden oder muss ich noch was abändern???
BIber
Gast






BeitragVerfasst am: 08 Jan 2005 - 13:03:16    Titel:

Schätze mal ich hab dich falsch verstanden, mir ist fast klargeworden wie das genau gemeint ist (ich glaub dir mal)
nur muss ich das ein wenig anders ausdrücken....eine Integralgrenze muss bei -1 anfangen...oben muss dann x stehen...daran arbeite ich grade
BIber
Gast






BeitragVerfasst am: 08 Jan 2005 - 13:10:06    Titel:

hm hab wieder weiter überlegt, glaube was ich machen wollte ist gar nicht so wichtig, hauptsache ich komm auf die dichte!

2 / PI * Int_von_0_bis_x( Wurzel(1-u²) )du = ? suche ich grade, so kann ich das ja nicht ableiten...hab eine subst. mit u= sin t gemacht, kam nur käse raus, rechne noch mal!
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2005 - 18:05:05    Titel:

Man kann hier auch als Grenze statt 0 bei -1 beginnen.
VF = 2 / PI * Int_von_-1_bis_x( Wurzel(1-u²) )du

Substituieren kann ich nicht (mehr) so gut, aber sin(t) = u scheint mir nicht schlecht.

Hier wird aber zunächst mit cos(t) = u substituiert:
http://www.math.unibas.ch/~walser/institut/vorlesungen/04ws/MathfNatw/Skripte/109%20Integrationstechniken.pdf

VF = 2 / PI * Int_von_-1_bis_x( Wurzel(1-u²) )du
VF = 2 / PI * Int( - sin²t )dt
VF = 2 / PI * [ 1/2 * cos(t)*sin(t) - 1/2 * t + C ]
VF = 2 / PI * [ 1/2 * u * Wurzel(1-u²) - 1/2 * arccos(u) + C ]_von_-1_bis_x
VF = 2 / PI * [ 1/2 * x * Wurzel(1-x²) - 1/2 * arccos(x) - 1/2 * (-1) * Wurzel(1-(-1)²) + 1/2 * arccos(-1) ]
VF = 1 / PI * [ x * Wurzel(1-x²) - arccos(x) + arccos(-1) ]
VF = 1 / PI * [ x * Wurzel(1-x²) - arccos(x) + PI ]
VF = 1 + [ x * Wurzel(1-x²) - arccos(x) ]/PI
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