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@Mathegenies Kann mir bitte jemand helfen? Habe keine Ahnung
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> @Mathegenies Kann mir bitte jemand helfen? Habe keine Ahnung
 
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Mirow
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Anmeldungsdatum: 20.12.2004
Beiträge: 82

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2005 - 18:17:21    Titel: @Mathegenies Kann mir bitte jemand helfen? Habe keine Ahnung

Es seien P1 = (x1,y1) und P2 = (x2,y2) verschieden Punkte von R^2.
Zeigen Sie, dass ein von P1 und P2 verschiedener Punkt P dieser Geraden g, dessen Abszisse zwischen x1 und x2 liegt und dessen Ordinate zwischen y1 und y2 liegt, genau folgende Koordinatendarstellungen besitzt:

P = (x1 + t(x2 - X1), y1 + t(y2 - y1) mit 0 < t < 1
= ((1 - t)x1 + tx2, (1 - t)y1 * ty2) mit 0 < t < 1

Bestätigen Sie ferner: "P liegt zwischen P1 und P2" im Sinne der gewonnenen analytischen Charakterisierung für diese Beziehung.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2005 - 20:44:31    Titel:

Das ist eine trivialität. Eine Gerade G in R^2 ist ein eindimensionaler affiner Untervektorraum von R^2. Somit hat G (als Element eines Faktorraumes U/B) eine Darstellung von der Form

a + l b

wobei b der erzeugende (nicht 0) Vektor von B ist. Dabei ist a in in G und a + b in G. Nimm für a den Punkt P1 und für b den Vektor P2-P1 = (x2-x1,y2-y1). Dann hast Du a = P1 und a+1*b = P2. Somit hast Du folgende Darstellung deiner Geraden:

{(x,y) | ex l mit (x,y) = (x1,x2) + l (x2-x1,y2-y1)}.

Sei nun ein Punkt in G mit x1 < x < x2 und y1 < y < y2. und (x,y) = (x1,x2) + l(x2-x1,y2-y1). Daraus folgt unmittelbar, dass 0 < l < 1 ist. Analoges gilt auch für den Fall x2 < x < x1 und y2 < y < y1.
Mirow
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Anmeldungsdatum: 20.12.2004
Beiträge: 82

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 01:45:42    Titel:

Dankeschön!

Vielleicht kannst Du mir auch noch bei folgender Aufgabe helfen, die teilweise auf der obigen aufbaut.

Jetzt sei durch die Gleichung ax +by + c = 0 eine Gerade g in R^2 gegeben. Zeigen Sie mit der analytischen Definition einer Halbebene, dass jede Halbebene von g eine konvexe Punktmenge ist.
[Hinweis: Verwenden Sie die in Aufgabe 1 gefundenen koordinatendarstellungen!]
Mirow
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Anmeldungsdatum: 20.12.2004
Beiträge: 82

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 18:34:49    Titel:

nochmal nach oben Smile
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