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lineare Unabhängigkeit von Vektoren
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Peter M.
Gast






BeitragVerfasst am: 08 Jan 2005 - 18:26:02    Titel: lineare Unabhängigkeit von Vektoren

Hallo!

Kann mir jemand helfen? Wie überprüfe ich die lineare Unabhängigkeit von Vektoren?

x^1 =

(2)
(1)
(-1)
(3) ,


x^2 =

(3)
(4)
(-3)
(6) ,


x^3 =

(5)
(0)
(-1)
(6) .
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2005 - 18:40:25    Titel:

Linear abhängig sind Vektoren, wenn sich einer durch Vielfache der andren ausdrücken lässt.
A, B, C seien Vektoren, a, b, c, Skalare (Faktoren).
Wenn es für die Gleichung a*A+b*B+c*C = 0 (Nullvektor) eine Kombination von a, b, c gibt, bei der nicht alle der drei Skalare Null sind, also mindestens einer von 0 verschieden, dann sind die Vektoren linear abhängig.
Dafür stellt man für jede Komponente der Vektoren eine eigene Gleichung auf und erhält so ein Gleichungssystem:
a*a1+b*b1+c*c1 = 0
a*a2+b*b2+c*c2 = 0
...
a*an+b*bn+c*cn = 0
TimWischmeier
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Anmeldungsdatum: 07.11.2004
Beiträge: 70

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 14:10:31    Titel:

Wenn du dieses LGS jetzt anfängst zu lösen und feststellst, dass du irgendwann ne Nullzeile bekommst, war einer der Vektoren lienaer abhängig von den anderen. Bei zwei Nullzeilen warens zwei etc...
icerain
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Anmeldungsdatum: 05.12.2004
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 19:38:33    Titel:

wenn ich die Vektoren wie folgt in ne Matrix schreibe:
2.0 3.0 5.0
1.0 4.0 0.0
-1.0 -3.0 -1.0
3.0 6.0 6.0

und das auf Zeilenstufenform bringe:

1.0 1.5 2.5
0.0 1.0 -1.0
0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0

seh ich doch eigentlich direkt, das die linear abhänig ist. weil ich bei 3 Vektoren nur 2 von Null verschiedene Zeilen habe oder? Wie seh sich denn dann daran, welche 2 lin unabh. sind?
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 19:59:21    Titel:

a*a1+b*b1+c*c1 = 0
a*a2+b*b2+c*c2 = 0
...
a*an+b*bn+c*cn = 0

Für das oben gegeben Bsp bedeutet das:
a*2+b*3+c*5 = 0
a*1+b*4+c*0 = 0
a*-1+b*-3+c*-1 = 0
a*3+b*6+c*6 = 0
oder als reine Koeffizientenmatrix:
Code:
 2  3  5
 1  4  0
-1 -3 -1
 3  6  6

1  3/2  5/2
0  5/2 -5/2
0 -3/2  3/2
0  3/2 -3/2

1  0  4
0  1 -1
0  0  0
0  0  0

Da steht ja im Grunde
a + 4*c = 0 ==> a = -4*c
b - c = 0 ==> b = c

Also ergibt (für c = 1) -4 mal den ersten plus 1 mal den 2. Vektor plus (1 mal) den 3. Vektor gleich den Nullvektor
-4*A + 1*B + C = 0
, oder:
-4*A + B = -C
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 20:02:39    Titel:

icerain hat folgendes geschrieben:
seh ich doch eigentlich direkt, das die linear abhänig ist. weil ich bei 3 Vektoren nur 2 von Null verschiedene Zeilen habe oder? Wie seh sich denn dann daran, welche 2 lin unabh. sind?

Wenn Du das noch weiter "vereinfachst", so dass sich Einheitsvektoren innerhalb der Matrix ergeben (s.o.) dann weisst Du, dass mit hilfe dieser Vektoren die anderen dargestellt werden können.

Alternativ hätte man das im letzten Schritt auch zu:
Code:
1  4  0
0 -1  1
0  0  0
0  0  0

vereinfachen können.
icerain
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Anmeldungsdatum: 05.12.2004
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 20:07:00    Titel:

[quote="Thomas_Da"]a*a1+b*b1+c*c1 = 0
Code:
 
1  3/2  5/2
0  5/2 -5/2
0 -3/2  3/2
0  3/2 -3/2

1  0  4
0  1 -1
0  0  0
0  0  0


ich glaub da stimmt was nicht. Wo kommt die 0 und die 4 in der ersten zeile her?
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 20:15:00    Titel:

Die neue erste Zeile ergibt sich aus:
5 mal erste Zeile minus 3 mal zweite Zeile.
icerain
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Anmeldungsdatum: 05.12.2004
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 20:30:37    Titel:

danke! Smile
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