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Vektor - Normen
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s0laris
Gast






BeitragVerfasst am: 08 Jan 2005 - 20:15:08    Titel: Vektor - Normen

Hallo !


Kann mir einer sagen was die "bedeutung" der

- Eins-Norm
- Euklidschen-Norm
- Maximum-Norm

im Bezug auf Vektoren ist !?!

Die Euklid-Norm is ja der Abstand, klar! .... aber was ist mit den anderen beiden ?!

Im Netz habe ich bisher auch nicht sehr viel erfahren.. !


Danke!

Gruß s0laris
little-tweety83
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Anmeldungsdatum: 04.01.2005
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2005 - 22:06:58    Titel:

Guten Abend.

Mal sehen, ob ich dir mit dem wenigen, was ich über Mathe weiß, helfen kann.

Man kann über einem Vektorraum eine Norm definieren.
Eine Norm ist eine Funktion, die folgende Punkte erfüllt:
Für x,y Element X mit X Vektorraum und a Element K

(N1) IIxII = 0 äquivalent zu x=0 ( II sollen doppelte Betragsstriche sein; sie deuten die Norm an)
(N2) IIa*xII = IIaII * IIxII
(N3) IIx+yII = IIxII + IIyII (Dreiecksungleichung)

Nun gibt es fest definierte Normen, die somit auch die N1-N3 erfüllen, dazu gehören:
Maximumsnorm: IIxII00 := max{IIxjII mit j=1,...,n}
Euklidische Norm oder 2-Norm( II.II2): IIxII := (<x,x>)^(1/2) (auf dieser Norm ist der euklidische Abstand definiert, das ist der Abstand, den wir zum Messen von LÄngen benutzen, wie du schon festgestellt hast)
Eins-Norm ( II.II1 ): IIxII := (Ix1I+.....+IxnI)
oder allgemein: p-Norm: IIxIIp := (Ix1I^p+...+IxnI^p)^(1/p)

Gruß
Vera
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 10:55:43    Titel: Re: Vektor - Normen

s0laris hat folgendes geschrieben:
Die Euklid-Norm is ja der Abstand, klar!

Der Abstand zu sich selbst oder wie? Es ist die Länge des Vektors!

Zitat:
.... aber was ist mit den anderen beiden ?!

Da wüsste ich spontan keine geometrische Bedeutung; nimms doch einfach als algebraische Ausdrücke hin ohne da wieder eine Anschauung mit verbinden zu wollen.
s0laris
Gast






BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 15:22:23    Titel:

Zitat:
Zitat:
.... aber was ist mit den anderen beiden ?!

Da wüsste ich spontan keine geometrische Bedeutung; nimms doch einfach als algebraische Ausdrücke hin ohne da wieder eine Anschauung mit verbinden zu wollen.



Würd ich ja gerne, aber mein Dozent meint das wir das Wissen sollten ( --> Aufgabe eines Übungsblattes!)
little-tweety83
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Anmeldungsdatum: 04.01.2005
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 19:24:36    Titel:

Leute, korrigiert micht, falls das jetzt falsch ist:

Nicht die Norm beschreibt den Abstand zweier Vektoren, sondern die Metrik, die auf einer Norm definiert wird.

Die Metrik, die auf der Eins-Norm besteht kann man sich, so meine ich mich zu erinnern, folgendermaßen vorstellen:
Es ist die Länge der Strecke, die du auf der x-Achse zurücklegen musst, wenn du von dem ersten Vektor zum zweiten "wanderst".
Also quasi das Lot der beiden "Punkte", deren Abstand du messen willst auf die x-Achse fällen und die Länge der Strecke zwischen den beiden Lotfußpunkten ablesen.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2005 - 15:15:23    Titel:

Sowas, wie "Abstand zweier Vektoren" gibt es gar nicht. Es macht aufgrund der Definition eines Vektors keinen Sinn, denn ein Vektor (geometrische Deutung) ist neben einem Element eines Kreuzproduktes K^M eine Menge von Repräsentanten mit BELIEBIGEN Stützpunkt aber identischer "Länge" und "Richtung". Somit ist ein Vektor, geometrisch gesehen, eine Menge von verschiedenen Objekten, deren Abstand, auch wenn man einen solchen einführen würde, stets verschieden und somit nicht von der Repräsentantenwahl unabhängig ist. Somit ist der Begriff "Abstand von Vektoren" nicht wohldefiniert.

Bei der Norm |x| geht es um den Abstand des Endpunktes desjenigen Repräsentanten von x, dessen Stützpunkt im Ursprung liegt, zum Ursprung. So kann man das geometrisch deuten.
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2005 - 16:26:25    Titel:

> (N3) IIx+yII = IIxII + IIyII (Dreiecksungleichung)

muss "kleiner gleich" heißen (sonst wärs ja keine UNgleichung)
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