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Beweise in der Geometrie
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Mirow
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Anmeldungsdatum: 20.12.2004
Beiträge: 82

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 20:22:14    Titel: Beweise in der Geometrie

Es seien P1 und P2 verschieden Punkte der Ebene.

a) Zeigen Sie, dass die Menge der punkte, die von P1 und P2 denselben Abstand haben, eine Gerade g ist. Bestimmen Sie die Geradengleichung für g (mittels der formel für den Euklidischen Abstand).

b) Zeigen Sie ferner, dass diese Gerade g die Orthogonale zur Verbindungsgeraden von P1 und P2 durch den Mittelpunkt von P1 und P2 ist.

Das klingt ja alles logisch, aber wie kann ich das beweisen???
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 21:54:33    Titel:

Seien P1 = (x1,y1) und P2 = (x2,y2)

Dann gilt für einen Punkt P = (x,y) der von P1 und P2 den gleichen Abstand hat:

(x-x1)² + (y-y1)² = (x-x2)² + (y-y2)² oder
(y-y1)² - (y-y2)² = (x-x2)² - (x-x1)²

Linke Seite

y² - 2yy1 + y1² - y² + 2yy2 – y2² =
2y(y1-y2) + y1² - y2²

Rechte Seite

x² - 2xx2 + x2² - x² + 2xx1 – x1²=
2x(x1-x2) + x2² - x1²

Linke Seite = Rechte Seite

2y(y1-y2) + y1² - y2² = 2x(x1-x2) + x2² - x1²
y = (2x(x1-x2) + x2² - x1² - y1² + y2²) / (2(y1-y2))

Ohne jetzt weiter aufzulösen, x1,x2,y1,y2 sind Konstanten, somit ergibt sich

y= ax + b Geradengleichung mit a= (x1-x2)/(y1-y2)

Die Gerade durch die zwei Punkte P1 und P2 hat die Steigung (y2-y1)/(x2-x1) und das ist gleich –(1/a), somit sind die Geraden orthogonal.

Gruß
Andromeda
Mirow
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Anmeldungsdatum: 20.12.2004
Beiträge: 82

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2005 - 01:44:15    Titel:

Dankeschön :yes:
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