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Wie zerlegt man diese Reihen in kleinere Bestandteile
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multiplexer
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Anmeldungsdatum: 09.11.2006
Beiträge: 39
Wohnort: bei Augsburg

BeitragVerfasst am: 01 Mai 2007 - 10:34:14    Titel: Wie zerlegt man diese Reihen in kleinere Bestandteile

Schönen Feiertag zusammen, leider kann ich ihn momentan nicht genießen, da ich an dieser Aufgabe hänge.

Kann mir jemand erklären, warum man folgende Reihe so aufteilen kann?





Ahh genau, hier hab ich auch noch eine offene Aufgabe. Bisher haben wir die Taylorentwicklung durchgenommen, weiß aber hier nicht, wie diese Reihenentwicklung zustande kommt.



Mich würde der Lösungsweg sehr interessieren. Bitte um eure Hilfe
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 01 Mai 2007 - 21:08:07    Titel:

Hallo !

Reihe Summe(n=1 bis oo)(x^n / (n*(n+2))) berechnen :

1/(n*(n+2)) = a/n + b/(n+2) {Partialbruchzerlegung}
-> a*(n+2) + b*n = 1 , unabhängig von n
=> a = 1/2 und b = -a = -1/2

=> 1/(n*(n+2)) = (1/2)/n + (-1/2)/(n+2)

=> Summe(n=1 bis oo)(x^n / (n*(n+2))) =
= (1/2)*Summe(n=1 bis oo)(x^n / n) - (1/2)*Summe(n=1 bis oo)(x^n / (n+2))

mit
Summe(n=1 bis oo)(x^n / n) = -ln(1-x) für -1≤x<1
Summe(n=1 bis oo)(x^n / (n+2)) = (1/x²)*Summe(n=3 bis oo)(x^n / n) =
= (1/x²)*[Summe(n=1 bis oo)(x^n / n) - (x + x²/2)]
= (1/x²)*[-(x + x²/2) - ln(1-x)] für -1≤x<1

Als Ergebnis erhalten wir also:
Summe(n=1 bis oo)(x^n / (n*(n+2))) =
= (1/2)*Summe(n=1 bis oo)(x^n / n) - (1/2)*Summe(n=1 bis oo)(x^n / (n+2))
= (1/2)*[-ln(1-x)] - (1/2)*(1/x²)*[-(x + x²/2) - ln(1-x)]
= ...

Die zweite Aufgabe solltest Du nun leicht lösen können.
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