Rotation einer Parabel

Torina · Newbie Anmeldungsdatum: 02.01.2005 Beiträge: 13

Hi
ich hab Probleme bei einer Aufgabe mit einer rotierenden Parabel.
Wie berechne ich das Volumen eines solchen Körpers?
Die Gleichung ist y=1/16 * x^4

TimWischmeier · Junior Member Anmeldungsdatum: 07.11.2004 Beiträge: 70

Ich nehme mal an, willst willst die Parabel um die X- bzw. Y-Achse rotieren lassen:

== X-Achse

Prinzip: du rechnest erst "Scheiben" an jeder Stelle aus, mit dem Radius von f(x) an der Stelle und summierst diese dann auf.

1. eine Funktion für die Fläche einer Scheibe finden
Eine Scheibe ist ein Kreis mit dem Radius r, hier also mit f an der Stelle x.
g(x) sei die Fläche der Scheibe an der Stelle x:
g(x) = pi * f(x)^2

Wenn du jetzt in dem Intervall, wo du das Volumen des rotierten Köprers ausrechnen willst, g(x) integrierst, hast du das Volumen. Vorteil: du kannst ohne Rücksicht einfach folgendes Rechnen:
Grenzen sind links a und rechts b:
G(x) sei Stammfunktion zu g(x)
G(b) - G(a) = gesuchtes Volumen
denn: die Fläche der Kreise kann ja nie negativ werden wegen f(x)²

konkret:
sei f(x) = x² + 4
wir wollen von a = -2 bis b = 5 das Volumen berechnen:
g(x) = pi * (x² + 4)²
g(x) = pi * (x^4 + 8*x² + 16)

G(x) = pi * (0.25 * x^5 + 4*x³ + 16x + c/pi)

(bin mir beim Aufleiten nicht sicher, das kann falsch sein! Bitte nochmal nachprüfen!!!)
wobei c ja unbekannt ist beim aufleiten, das fällt aber gleich beim integral weg
Volumen = v
V = G(b) - G(a) = G(5) - G(a)
= pi*(781,25 + 500 + 80 + c/pi) - pi*(-8 - 32 - 32 + c/pi)
= pi*(1361,25 + c/pi) - pi*(-72 + c/pi)
= pi*(1361,25 + 72 + c/pi - c/pi)
= pi*(1433,25) ~= 14145,611

== Y-Achse

Bei der Y-Achse geht das im Prinzip genau so, aber mit Einschränkungen:
da ja oft nicht nur ein x-Wert zu einem Y-wert gehört, musst die eventuell die Funktion einschränken. Das wird gleich deutlich:

(HINWEIS: wurzel(x, a) bedeutet die a-te Wurzel aus x)

du musst nämlich für die Rotation um die Y-Achse die Funktionsgleichung nach x umstellen:
f(x) = 1/16 * x^4
y = 1/16 * x^4
16y = x^4
wurzel(16y, 4) = x
4* wurzel(y, 4) = x

das sei mal h(x) = 4* wurzel(x, 4)
Du siehst also, diese Funktion ist nur noch für x >= 0 definiert. Damit kannst du jetzt aber genau so umgehen:

g(x) = 4 * x^(1/4)
=> "4-te Wurzel aus" bedeutet das gleich wie "hoch ein-viertel"
=> "3-te wurzel aus blabla hoch zwei" bedeutet so z.b.
"blabla hoch zwei-drittel"
G(x) = 16 * x^(5/4)
usw...

Hoffe, ich konnte helfen. Bitte schau aber nochmal meine Aufleitungen nach, da bin ich mir nicht sicher!!!

aldebaran · Senior Member Anmeldungsdatum: 30.09.2004 Beiträge: 1673

Hi

schau mal das an:

www.gess.rw.bw.schule.de/pdfxx/Parabelrotationsvolumen.pdf

Tschüss dann !

Torina · Newbie Anmeldungsdatum: 02.01.2005 Beiträge: 13

Danke