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Hänge bei Induktionsrechnung
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Katimh
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Anmeldungsdatum: 19.10.2004
Beiträge: 35

BeitragVerfasst am: 12 Jan 2005 - 17:57:02    Titel: Hänge bei Induktionsrechnung

Ich bin gerade dabei eine vollständige Induktion durchzuführen... hänge bei der Rechnung jetzt aber an einer Stelle.. kann mir jemand helfen? Rolling Eyes

2*2^n+1 *3^n+1 + 2*2^n+1 *3^n+2 +...+ 2*2^n+1 *3^2n+1 + 2^n+2 *3^2n+2 - 2^n+1 *3^n - 2^n+1 *3^n+1 -...- 2^n+1 *3^2n

Was kommt da raus? Ich weiß, das z. B. 2*2^n+1 - 2^n+1 = 2^n+1

Aber mein Problem liegt jetzt z. B. bei 2*2^n+1 *3^n+1 - 2^n+1 *3^2n+2

Also dabei, wie ich die Multiplikanten mit den Exponenten subtrahieren muß (also wie man *3 hoch irgendwas von *3 hoch irgendwas anderem abziehen muß)
TimWischmeier
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Anmeldungsdatum: 07.11.2004
Beiträge: 70

BeitragVerfasst am: 12 Jan 2005 - 18:34:57    Titel:

Um ehrlich zu sein blicke ich da nicht so ganz durch... könntest du die Aufgabe dazuschreiben?
Katimh
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Anmeldungsdatum: 19.10.2004
Beiträge: 35

BeitragVerfasst am: 12 Jan 2005 - 18:44:11    Titel:

Die Aufgabe ist:

Sigma (darüber n und darunter k=1) 2^n+1 * 3^n+k = 6^n (3^n+1 -1)

Ich habe nun schon festgestellt, daß der Induktionsanfang gilt.

Dann bin ich fortgefahren mit Sigma (darüber n+1) 2^n+2 * 3^n+1+k =
Sigma (darüber n) 2^n+1 * 3^n+k + ???

Um die 3 FRagezeichen herauszubekommen, muß man von Sigma (darüber n+1) Sigma (darüber n) subtrahieren. (Zumindest haben wir es so in der Vorlesung gemacht)

So bin ich dann auf die Rechnung gekommen, die du nicht nachvollziehen konntest.
TimWischmeier
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Anmeldungsdatum: 07.11.2004
Beiträge: 70

BeitragVerfasst am: 12 Jan 2005 - 19:12:27    Titel:

hm, ich ekrlär mal so ein bisschen:

Sigma ist das Summenzeichen (ich ekrlärs nur mal eben kurz, weil sich das so anhört, als wüsstest du net so recht damit umzugehen. Wenn du da kennst bitte nicht böse sein Smile).
Das bedeutet, die Summe wird mit dem Term hinter dem Sigma errechnet. Der hat eine Laufvariable, die unter dem sigma angegeben ist. Da steh auch, bei welchem Wert diese Variable beginnen soll. Der höchste Wert der variablen steht über dem Sigma.

Also wenn du jetzt die Summe bis n+1 hast, kannst du im prinzip das letzte summenglied "abkoppeln":

summe_von_1_bis_n_von(Term) + Term_für_n+1

wenn der Term also n*x wäre:
summe_von_1_bis_n+1_von( n*x)
= summe_von_1_bis_n_von(n*x) + (n+1)*x

Also einfach das letzte Stück von der Summe abkoppeln. Das stückchen kannst du jetzt auf beiden seiten abziehen. Dann hast du auf der linken seite wieder deine alte Summe bis n, rechts hast du den Ergebnisterm bis (n+1) minus dem Summenteilchen.

Jetzt steht auf der linken seite aber etwas, wofür du schon bewiesen hast, dass es gilt (dafür der Induktionsanfang!). Du kannst das Summenzeichen auf der linken seite also durch den Ergebnisterm aus der Induktions-vorraussetzung ersetzen. Das ist der Trick.

Ich mach mal ein einfaches Beispiel. Zum Schreiben:
S(a, b, c) heißt jetzt Summe über a von b nach c

I.-Behauptung:
S( 2*i - 1, i = 1, n) = n²

("Summe über (2 mal i minus eins) von i gleich eins bis i = n ergibt n quadrat")

I.-Anfang:
für i = 1:
S( 2*i-1, i=1, 1) = 2*1 - 1 = 1 = 1² => Anfang bewiesen

I.-Schluss:
S(2*i-1, i=1, n+1) = (n+1)² |(n = n+1 setzen)
S(2*i-1, i=1, n) + 2*(n+1)-1 = (n+1)² |(letzten summand abspalten)
S(...) = (n+1)² - 2*(n+1) + 1 |(rüberbringen)
n² = (n+1)² - 2*(n+1) + 1 |(I.-Vorraussetzung einsetzen)
n² = n² + 2n + 1 - 2*(n+1) + 1 |(ausmultiplizieren)
n² = n² + 2n + 1 - 2n - 2 + 1 |(ausmultiplizieren)
n² = n² + 2n - 2n + 1 + 1 - 2 |(sortieren)
n² = n² => bewiesen

ich hoffe, du kannst das Beispiel auf deine Aufgabe übertragen, die ist ja deutlich komplizierter...
Katimh
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Anmeldungsdatum: 19.10.2004
Beiträge: 35

BeitragVerfasst am: 12 Jan 2005 - 19:39:04    Titel:

ne sorry.... bin eigentlich nur verwirrter als vorher Sad

Bin und bleibe wohl ein hoffnungsloser Fall und werd wohl mal wieder nur eine angefangene Aufgabe abgeben können.
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