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Metrik
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Johanna84
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Jan 2005 - 12:31:21    Titel: Metrik

Hallo,

ich weiß nicht wie man so eine Aufgabe löst bzw. richtig rechnet, weil ich einige von ihnen machen muss. Würde mich freuen wenn ihr mir hierfür Beispiele geben könnt.

Seien x and y reelle Zahlen. Welche von den folgenden Abbildungen
definieren eine Metrik auf R:

1. d_1(x,y) = (x - y)^2
2. d_2(x,y) = |x - y|/(1+|x-y|)


Danke für die MÜhe!!
little-tweety83
Junior Member
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Junior Member


Anmeldungsdatum: 04.01.2005
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 13 Jan 2005 - 14:57:59    Titel:

Hallo Johanna.

Du musst nur ganz stupide die folgenden drei Punkte überprüfen:

Für eine Metrik für alle x, y, z aus R^n muss gelten:

(dist1) (d(x,y) größer/gleich 0) und (d(x,y)=0 => x=y)
(dist2) d(x,y) = d(y,x)
(dist3) d(x,y) kleiner/gleich d(x,z) + d(z,y)

Also einfach d(x,y) durch die vorgegebene Metrik ersetzten und nachrechnen.

Gruß
Vera
Gast







BeitragVerfasst am: 13 Jan 2005 - 15:05:38    Titel:

Definition einer Metrik:

Folgende Axiome müssen gelten:
1. d(x,y) >= 0, wobei d(x,y)=0 <=> x=y (Definitheit)
2. d(x,y) = d(y,x) (Symmetrie)
3. d(x,y) <= d(x,z)+d(z,y) (Dreiecksungleichung)

Nun überprüfst Du einfach nur noch, ob für Deine Abbildungen diese Aussagen zutreffen. Sollte dies der Fall sein, hast Du eine Metrik.

Bsp.: Ist d(x,y) = |x-y| eine Metrik?

Lösung:

zu 1 (Definitheit): Offenbar ist d(x,y) für alle x,y > 0 (durch den Betrag), desweiteren ist es genau dann 0, wenn x=y.
Also ist die erste Aussage erfüllt.

zu 2 (Symmetrie): Es gilt natürlich |x-y|=|y-x|, also auch symmetrisch.

zu 3 (Dreiecksungleichung): |x-y|=|x-z+z-y|<=|x-z|+|z-y|, stimmt also auch.

Es folgt also insgesamt, dass d(x,y)=|x-y| eine Metrik ist.

Analog dazu überprüfst Du einfach Deine eigenen Metriken....
Johanna84
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Jan 2005 - 16:05:19    Titel:

Danke euch!

Also zu 1:
d(x,y)=(x-y)²

1. Definitheit: Ja, denn d(x,y) ist für alle x,y > 0 (da Quadrat) und wenn x=y, dann 0

2. Symmetrie: Ja, denn (x-y)²=(y-x)²

3. Dreiecksungleichung: (x-y)²=(x-z+z-y)²<=(x-z)²+(z-y)²

d(x,y)=(x-y)² ist eine Metrik.

Zu 2:
d(x,y) = |x - y|/(1+|x-y|)

1. Da der Zähler wegen dem Betrag immer positiv ist und im Nenner auch, ist d(x,y) für alle x,y >0 und wenn x=y dann ist d(x,y)=0, da Zähler 0 ist...

2. |x-y|/(1+|x-y|) = |y-x|/(1+|y-x|) , wegen Betrag ist die Symmetrie auch erfüllt.

3. |x-y|/(1+|x-y|) = |x-z+z-y|/(1+|x-z+z-y|) <= |x-z|/(1+|x-z|) + |z-y|/(1+|z-y|)


d(x,y) = |x - y|/(1+|x-y|) ist auch eine Metrik.

Habe ich das so richtig dargestellt?

Muss ich da eigentlich Beweise bringen, dass das alles wirklich gilt? Man sieht es ja am Betrag bzw. am Quadrat...
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