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Mom. Änderungsrate (Nachweis von einer allg. Gesetzmäßigkeit
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Mom. Änderungsrate (Nachweis von einer allg. Gesetzmäßigkeit
 
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Gast







BeitragVerfasst am: 13 Jan 2005 - 23:38:16    Titel: Mom. Änderungsrate (Nachweis von einer allg. Gesetzmäßigkeit

Hallo erstmal
wir habe eine Aufgabe mit unserem Lehrer durchgerechnet und kann seine Rechnungs wege nicht nachvoll ziehen.

Wir haben die Gleichung f(x)=2x²+1 bekommen und wir sollten uns verschiedenen X-Werten auf der Parabel nähern (wolln die absolute Änderungsrate ausrechen) einmal 1. P(1/y) 2. P(2/y) und es kam 1.m= 4 und
2. m(unten gestelltes "s")= 8 heraus.

Und dann haben wir behauptet das die allg. Gesetzmäßigkeit für m(unten gestelltes "s")--->4a für x----> a (also x=a) ist.


Und jetzt beim Nachweisen meiner behauptung konnte ich einiges nicht Nachvollziehen:

Beweis: P (a/2a²+1

m(unten gestelltes "s")= f (x) - f (a) (bruchstrich) x - a

(jetzt kommt der Teil den ich nicht verstehe)

(x---> a
x=a+h)

=>m(unten gestelltes "s")=f (a+h) - f (a) (bruchstrich) a+h - a =

2( a+h)²+1-(2a²+1) (bruchstrich) h

Und den rest weis ich wie es geht dann muss ich einfach nur Auflösen. Aber das Obere verstehe ich einfach nicht.

Das ergebnis ist dann = 4a + 2h und somit ist unsere Behauptung bewiesen was ich leider auch nicht aus dem ergebnis herauslesen kann.

Also ich hofe ihr könnt die Schritte nachvoll ziehen also wie ich es erklärt habe.

Ich bitte um dringende Hilfe!
Danke
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2005 - 00:23:22    Titel: Re: Mom. Änderungsrate (Nachweis von einer allg. Gesetzmäßig

Anonymous hat folgendes geschrieben:

Und jetzt beim Nachweisen meiner behauptung konnte ich einiges nicht Nachvollziehen:

m(unten gestelltes "s")= f (x) - f (a) (bruchstrich) x - a

(jetzt kommt der Teil den ich nicht verstehe)

(x---> a
x=a+h)

=>m(unten gestelltes "s")=f (a+h) - f (a) (bruchstrich) a+h - a =

2( a+h)²+1-(2a²+1) (bruchstrich) h

Und den rest weis ich wie es geht dann muss ich einfach nur Auflösen. Aber das Obere verstehe ich einfach nicht.

Das ergebnis ist dann = 4a + 2h und somit ist unsere Behauptung bewiesen was ich leider auch nicht aus dem ergebnis herauslesen kann.

Also ich hofe ihr könnt die Schritte nachvoll ziehen also wie ich es erklärt habe.

Ich bitte um dringende Hilfe!
Danke

Hier handelt es sich einfach um das Steigungsdreieck umd die Steigung (= Ableitung) einer Funktion zu bestimmen.

Man nimmt als Basis 2 nahe beieinander liegende x-Werte, also zum Beispiel x1 = a und x2 = a+h, wobei h sehr klein ist, im Idelafall geht h -> 0 und somit x2 = a+h -> a und somit gegen x1.

Von diesen beiden Werten nimmt man dann die Funktionswerte, also f(x1) und f(x2), was man gleichsetzten kann mit f(a) und f(a+h).

Die Steigung ist dann
Code:

f(x2)-f(x1)
-------------
x2 - x1
ist aber gleich (s. oben, da x1 = a und x2 = a+h ist)

Code:

f(a+h) - f(a)
--------------
 (a+h) - a

ist aber gleich
Code:

f(a+h) - f(a)
--------------
       h
wenn man jetzt die Formel der Funktion (2x² + 1) einsetzt, ergibt das
Code:

2(a+h)² + 1 -2(a² + 1)
--------------------------
              h

Und jetzt weißt Du ja, wie es weiter geht.

Gruß
Andromeda
Gast







BeitragVerfasst am: 14 Jan 2005 - 16:05:31    Titel:

x2 = a+h, wobei h sehr klein ist, im Idelafall geht h -> 0 und somit x2 = a+h -> a und somit gegen x1.


Das verstehe ich einfach nicht woher kommt das h her kann man für x2 nicht einfach c oder so nehmen?

und was heißt das: h ->0 und somit x2 = a+h -> a und somit gegen x1.

Ich verstehe das einfach nicht.
Es wär mir sehr hilfreich wenn du mir das ganz normal (also nicht in fachsprache ) erklärst..

Würde mir sehr helfen ich könnte zwar so weiter arbeiten aber möchte ich gern verstehen woher oder warum dieses h ist.
Danke!
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2005 - 18:42:50    Titel:


Gesucht ist die Steigung m der Kurve. Dazu dient das Steigungsdreieck.

Die Steigung = Senkrechte Länge des Dreiecks durch waagrechte Länge des Dreiecks

Code:


    f(a+h) - f(a)        f(a+h) - f(a)
m = --------------  =   ----------------
        ((a+h) - a             h


Wie Du siehts, hat die Kurve aber zwischen a und a+h unterschiedliche Steigung, die Kurve deckt sich nicht exakt mit der schrägen Seite des Dreiecks.

Dies wir aber um so besser, je kleiner das Dreieck wird. Und das Dreieck wird kleiner, wenn h kleiner wird, im Idealfall ist h = 0. Man sagt also h geht gegen 0 (h -> 0).

Damit rücken beide x Werte zusammen, so dass x2 -> x1 geht, wobei ja x2 = a+h und x1 = a ist. Es interessiert also nur immer der Abstand der beiden x Werte.

Weiß jetzt nicht mehr, wie ich das sonst noch erklären könnte, ohne mehrere Seiten zu verfassen.

Gruß
Andromeda
Gast







BeitragVerfasst am: 14 Jan 2005 - 22:06:02    Titel:

DAnke nochmal für die erklärung jetzt habe ich es verstanden.

Aber hab noch ne funktion bei der bekomme ich glaub ich immer was falsches heraus f(x) = -0,5x²+x

Kannst mir vielleicht das richtige ergebnis ausrechnen?
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
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BeitragVerfasst am: 14 Jan 2005 - 22:09:02    Titel:

Das Ergebnis ist

-x + 1


Gruß
Andromeda
Gast







BeitragVerfasst am: 15 Jan 2005 - 00:30:47    Titel:

Ich versuch schon die ganze Zeit den Rechenweg nachzu rechenen aber ich bekomme was anderes heraus.

ist der Ansatzt so richtig? :

-0,5a² -ah -0,5h² +a+h +0,5a² -a
---------------------------------------------
h
Andromeda
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Beiträge: 1849
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BeitragVerfasst am: 15 Jan 2005 - 00:50:54    Titel:

Ausgangsgleichung:

f(x) = -0,5x² + x

x2 = a+h, x1 = a

Zähler:
Code:

-0,5(a+h)² + a+h + 0,5a² - a =
-0,5(a² + 2ah + h² -a²) + a + h - a =
-ah -0,5h² + h


Nenner:
Code:

h


Zähler/Nenner:
Code:

-ah -0,5h² + h
-----------------   =  -a -0,5h + 1
        h


Da h -> 0 geht ist das Ergebnis
Code:

-a + 1


Gruß
Andromeda
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2005 - 00:55:29    Titel:

Nachtrag:

Dein Ansatz war genau richtig, Du musst nur weiterrechnen, dann kommst Du auf das gleiche Ergebnis.

Gruß
Adromeda
Gast







BeitragVerfasst am: 15 Jan 2005 - 01:36:59    Titel:

Ich danke dir dafür, jetzt erscheint mir das alles ziemlich simpel, doch eine frage habe ich noch, woher hast du die +1 in deinem Ergebnis?
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