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Lineares Gleichungssystem lösen
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wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2005 - 12:13:08    Titel: Lineares Gleichungssystem lösen

Ich hab bis jetzt vergeblich versucht diese Aufgabe zu lösen:

Für welche c€R\{0} hat das lineare GLS Ax = b:

x + y + cz = 1
x + cy + z = 1
cx + y + z = 1

keine, genau eine, unendlich viele Lösungen ?
Im Falle einer Lösbarkeit geben sie alle Lösungen an.

Was ich bis jetzt erreicht habe ist:

Um die Lösbarkeit zu zeigen muss die Determinante =0 sein:
det A = -c³ + 3c -2
-c³ + 3c -2 = 0 --> c=1 doppelt und c=-2

Im ersten Fall c=1 doppelt komm ich dann auf die Lösung:
Zwei Parameter frei wählbar !

Im zweiten Fall c=2 hab ich:
Keine Lösung !

Soweit scheint das richtig zu sein, aber jetzt kommt mein Problem:
Für den Fall c ungleich 1 und c ungleich 2 müsste aller Logik nach eine triviale Lösung rauskommen, da die Determinante ungleich Null ist.

Ich krieg aber keine triviale Lösung raus:

(1) x + y + cz = 1
(2) x + cy + z = 1
(3) cx + y + z = 1

(1)*(-1)+(2) --> (4) y(c-1) + z(1-c) = 0
(1)*(-c)+(3) --> (5) y(1-c) + z(1-c²) = 1-c

(4)+(5) --> z(2-c²-c) = 1-c

Und ab hier steh ich voll aufm Schlauch...
Also z=(1-c) / (2-c²-c) schaff ich noch...

Kann mir das bitte mal jemand mit quadratischer Eergänzung vorrechnen und erklären, und das was in meinem Kopf nicht stimmt wieder geradebiegen ?
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 14 Jan 2005 - 12:29:58    Titel:

Hi,

(4) + (5) bring dir erstmal gar nix, da y(c-1) != y(1-c).

Also (5) * ((c-1)/(1-c)) + (4) rechnen.

Jockel
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2005 - 12:35:10    Titel:

y(c-1) != y(1-c).
Das ist ja richtig, aber:
y(c-1) + y(1-c) = yc-y+y-yc = 0
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 14 Jan 2005 - 12:50:38    Titel:

Hast natürlich Recht.
Egal, irgendwie ist dann doch alles Richtig, ausser dass du
schreibst:

"Für den Fall c ungleich 1 und c ungleich 2 müsste aller Logik nach eine triviale Lösung rauskommen, da die Determinante ungleich Null ist."

Ist aber genau umgekehrt:
Det != 0 <=> existiert eindeutige Lösung.
Andromeda
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2005 - 13:00:52    Titel:

@wild_and_cool


(1)*(-1)+(2) --> (4) y(c-1) + z(1-c) = 0
(1)*(-c)+(3) --> (5) y(1-c) + z(1-c²) = 1-c

(4) + (5) --> z(1-c) + z(1-c²) = 1-c (6)

Jetzt ist aber (1-c²) = (1-c)*(1+c)

Dann wird aus (6)

(7) z(1-c) + z(1-c)*(1+c) = (1-c)

Die (1-c) gekürzt

( 8 ) z + z(1+c) = 1

Kannst Du jetzt weitermachen?

Gruß
Andromeda
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2005 - 13:01:51    Titel:

Das steht doch da...

Det A != 0, dann müsste aller Logik nach eine triviale Lösung rauskommen, und das ist der Fall für c != 1 und c != 2.
wild_and_cool
Moderator
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Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2005 - 13:05:52    Titel:

@ Andromeda

Danke, das war das was ich gesucht habe...
Manchmal ist es einfach doch besser, wenn man nicht alles gleich zusammenfastt... Embarassed
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