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Trägheitsmoment
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-bastian-
Gast






BeitragVerfasst am: 14 Jan 2005 - 18:47:12    Titel: Trägheitsmoment

Hallo hätte mal eine frage zum Thema Trägheitsmoment,
kann mir vielleicht einer erklären,wie die allgemeine formel für das trägheitsmoment zu stande kommt?

hier mal ein link zu der Formel:

http://www.formel-sammlung.de/formel-Dynamik-der-Rotation-3-26-117.html

Es hat ja auf jedenfall etwas mit der rotation des Graphen um die x-achse zu tun-aber wie genau,und woher kommt das 1/2 her??

danke schonmal
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2005 - 19:13:08    Titel:

Hi Bastian,

um die Formel herzuleiten muss man das mathematische Verfahren der "Integration" kennen und können!

Wie stehts damit ?

Verfahren unter:
www.gess.rw.bw.schule.de/pdfxx/Massentraegheitsmoment.pdf

1/2 kommt aus der Integration ( in jeweils der 4. Zeile der Teillösungen von oben)
-bastian-
Gast






BeitragVerfasst am: 15 Jan 2005 - 10:55:28    Titel:

ja die integration ist mir bekannt-denke,das ich mich falsch ausgedrückt habe-meinte eigentlich die formel für die beliebigen rotationskörper-da steht ja schon das 1/2 da,bevor ich integriere.
also mein ansatz war ja:

I = / r² dm ( / = Integral)

dm = dV * e (e = dichte)

I = / e r² dV

V = Pi * / [r(x)]² dx

dV = ?

jedenfalls sollte am Ende dann halt: I = 1/2 e * Pi / (r²)² dx rauskommen.
die formel ist halt ein alternativweg dafür um keine Kugelkoordinaten oder zylinderkoordinaten anwenden zu müssen-ich weiß aber wiegesagt nicht,wie man auf diese formel beliebiger rotationskörper kommt.
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2005 - 18:40:38    Titel:

Hi Bastian,
ich sehe gerade deine Frage.

Zur Lösung folgende Hinweise:

für einen beliebig geformten Rotationskörper (wie das von dir beschriebene rechte Bild in der Formelsammlung) also für einen Körper, dessen Mantelfläche durch eine um die x-Achse rotierenden Graphen einer Funktion f(x) erzeugt wird, gilt:

Wir stellen uns den Körper in unendlich viele Elementar-Volumenteile dV aufgeteilt vor. Ein solches Elemetarvolumen-Teilstück hat die Form einer Kreislinie mit dem Umfang U=2*r*pi, der radialen Dicke dr und der axialen Breite dx und der (homogenen) Materialdichte k.

Dann ist J = INT[r²*dm] = INT[r²*k*U*dr*dx] ein Doppelintegral mit r = r(x);
also weiter:
J = INT{INT[r²*k*2*r*pi*dr]}*dx wobei die Grenzen gelten: INT[...] in den Grenzen von 0 bis r(x); und INT{...} in den Grenzen von x_1 bis x_2;

Löst man zunächst das innere Integral:
INT[r²*k*2*r*pi*dr]=2*k*pi*[(r^4)/4] mit r = r(x)

setzt man dies in das zweite Integral ein:
J = INT{2*k*pi*[(r^4(x))/4]dx} so kann man alle konstanten Größen vor das Integral ziehen:

J = 2*k*pi*(1/4)*INT{[(r(x)²)²]dx}; darin lassen sich die 2 und die 4 kürzen:

J = (1/2)*k*pi*INT{[(r(x)²)²]dx} in den Grenzen von x_1 bis x_2 q.e.d.

Der Faktor 1/2 kommt also aus dem ersten der beiden Integrationsverfahren.
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2005 - 18:50:38    Titel:

Hi Bastian,
noch ein Nachtrag:

das Massenträgheitsmoment eines Zylinders oder einer dünnen Scheibe ist damit ein Sonderfall des allgemeinen Doppelintegrals, da r(x) = c = konstant ist, entfällt das 2. Integral.
-bastian-
Gast






BeitragVerfasst am: 15 Jan 2005 - 19:24:31    Titel:

herzlichen dank!
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