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Parametergleichung von Ebene
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Adibär
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Anmeldungsdatum: 02.06.2007
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2007 - 14:13:04    Titel: Parametergleichung von Ebene

Hallo Leute,

ich habe ein kleines Problem mit der Parametergleichung von Ebenen. Ich habe jetzt zum Beispiel folgene Aufgabe die ich, so glaube ich, richtig gelöst habe. Vielleicht kann mir einfach mal jemand sagen ob die richtig ist.

Also ich habe einen Punkt A(5|2|1) und zwei Richtungsvektoren u=(2|4|-1) und v=(0|3|4).
Daraus habe ich folgende Parametergleichung für eine Ebene gemacht:

OX= (5|2|1)+λ*(2|4|-1)+μ*(0|3|4)

Jetzt zum eigentlichen Problem. Jetzt habe ich in der nächsten Aufgabe drei Punkte vorgegeben und soll daraus eine parametergleichung einer Ebene erstellen. Im Buch steht auch noch die schöne Hilfe "Führe Aufgabe 2 auf Aufgabe 1 zurück" (Daher auf das von mir oben angeführte Verfahren.

Also dachte ich ich nehme einfach einen der drei gegebenen Punkte die da wären:

P(4|3|1) Q(5|1|4) R(7|3|2)

und benutze die drei Vektoren dann um zwei Richtungsvektoren zu kriegen.
Also habe ich mir gedacht, dass ich erst einmal folgende Gleichung aufstelle:

OX=(4|3|1)+λ*u +μ*v

u=PQ v=QR

daher:

PQ= (5|1|4)-(4|3|1) = (1|-2|3)
und
QR= (7|3|2)-(5|1|4) = (2|2|-2)

Dann hätte ich zwei Richtungsvektoren und einen Punkt, sodass ich folgende parametergleichung aufstellen könnte:

OX=(4|3|1) + λ*(1|-2|3) + μ*(2|2|-2)

Vielleicht kann mir jemand sagen ob ich das richtig gemacht habe, wenn nicht wo denn die Fehler sind. Die Aufgabe ist im Buch "12/13 Elemente der Mathematik - Grundkurs" auf Seite 261 ganz unten zu finde, falls jemand das selbe buch benutzt.

Ich bedanke mich ganz herzlich für jede Hilfe,
Alex

PS: Gibt es hier im Forum eine Möglichkeit einen Code zu nutzen um mathematische zeichen zu schreiben oder so etwas in der Richtung, dann sehen die Formeln besser und verständlicher aus.
Hope14
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Anmeldungsdatum: 10.04.2007
Beiträge: 213

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2007 - 14:19:23    Titel:

also ich glaube du hast einen fehler gemacht, weil du hast P als stützvektor genommen, richtig? und deswegen müssen deine spanvektoren PQ und PR lauten.
zeichne dir das mal auf, dann wird das verständlich... Wink
aber deine vorgehensweise müsste eigentlich richtig sein.
Adibär
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Anmeldungsdatum: 02.06.2007
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2007 - 15:06:16    Titel:

Ich bin mir nicht sicher. Ich habe den Punkt P einfach so belassen, daher den Ortsvektor vom Punkt P als Stützvektor benutzt.
Ein Richtungsvektor(Spannvektor) ist dann PQ wie du gesagt hast, den habe ich ja auch.

Mit PR bin ich mir noch nicht so sicher. Es soll ja eine Parametergleichung sein um jeden (OX) Punkt auf de Ebene erreichen zu können.

Ich lade mal ein Bild hoch um meinen Standpunkt zu erläutern, wenn es andere Meinungen gibt bitte posten.

Danke,
Alex
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Anmeldungsdatum: 10.04.2007
Beiträge: 213

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2007 - 15:12:22    Titel:

ich kenn das nur so, wie ich das gepostet hab und ich bin mir auch sicher, dass das richtig ist.
Spannvektoren sind PQ und PR Wink
Adibär
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Anmeldungsdatum: 02.06.2007
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2007 - 15:26:08    Titel:

Ich hab mal ne Grafik angehängt. Vielleicht kannst du (und natürlich jeder andere) sich die auch einmal anschauen.

Ich habe P als Stützvektor genommen und Q und R als Richtungsvektoren um jeden beliebigen Punkt auf der Ebene zu lokalisieren. Hier ist das Bild:



In meinem Buch ist P=A Q=B1 und R=B, die Gleichung ist im Buch dann wie folgt angegeben:

OX=OA + AX1+X1X

Vielen Dank,
Alex
Hope14
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Anmeldungsdatum: 10.04.2007
Beiträge: 213

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2007 - 15:31:53    Titel:

schönes bild und diese ganzen bezeichnungen (leitgerade...), hatten wir nie Wink
hmmm... also es gibt mit großer sicherheit mehrere Möglichkeiten ne Paramtergleichung der Ebene aufzustellen, aber eine Möglichkeit ist immer noch die, die ich vorhin schon beschrieben habe.
Denk dir mal all diese Pfeile in dem Bild weg und jetzt stell dir mal einen Pfeil von P zu Q vor und nen anderen Pfeil von P zu R, dass sind Spannvektoren und so kannst du ne Parameterform der Ebene aufstellen und folglich jeden Punkt der Ebene berechnen.
Adibär
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Anmeldungsdatum: 02.06.2007
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2007 - 15:35:53    Titel:

ich habe gerade einen meiner Kumpel gefragt und er meint ich kann entweder PR nehmen, aber auch QR weil er auf de Ebene liegt.

Ich glaube dann ist meine Ebenengleichung vielleicht doch richtig. Very Happy

Gruß,
Alex

PS: Vielen Dank für deine Mühe
Hope14
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Anmeldungsdatum: 10.04.2007
Beiträge: 213

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2007 - 15:37:45    Titel:

Ah, stimmt. Wink
Adibär
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Anmeldungsdatum: 02.06.2007
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2007 - 16:48:09    Titel:

Leider muss ich euch gleich mir der nächsten Frage belästigen. Und zwar soll ich jetzt eine Ebengleichung aufstellen mit einer Geradengleichung und einem Punkt, aber wie fange ich an. Ich muss ja irgendwie einen Vektor zum Punkt kriegen oder?

Hilfe wäre toll,
Alex
Hope14
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Anmeldungsdatum: 10.04.2007
Beiträge: 213

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2007 - 16:59:11    Titel:

geht das nicht fast genauso wie eben, nur das dein Stützvektor dein "neuer" Punkt ist und dein Spannvektor ist dann "neuerPunkt und Stützvektor der anderen Gleichung" und als zweiten Spannvektor kanns du doch einfach einen Spannvektor von der anderen Gleichung übernehmen.
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