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Exponentialfunktion, Logarithmus
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redeyesvfr
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Anmeldungsdatum: 31.05.2006
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BeitragVerfasst am: 03 Jun 2007 - 16:44:20    Titel: Exponentialfunktion, Logarithmus

Hallo an alle,

ch habe ein kleines problem mit folgender funktion

e^x + e^-x =4

wenn ich diese nach x umstelle kommt bei mir nicht das ergebnis raus welches sein soll:
-->

ln(e^x) + ln(e^-x) = ln(4) <=> ln(e^x * e^-x) = ln(4)

x * -x = ln(4) <=> x = -ln(4)

=-1,386...

Das Ergebnis soll lauten +1.317 oder -1,317

Kann mir bitte jemand helfen??? ich weiß nicht was ich da falsch mache...
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 03 Jun 2007 - 16:54:33    Titel:

Multipliziere die Ausgangs-Gleichung mal mit e^x ! Vielleicht hilft dir das weiter...
redeyesvfr
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Anmeldungsdatum: 31.05.2006
Beiträge: 31
Wohnort: Niedersachsen

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2007 - 17:05:19    Titel:

bringt mich irgendwie nicht weiter???

hab ich denn in meiner rechenlogik oben, alles richtig gemacht oder nicht?
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 03 Jun 2007 - 17:11:38    Titel:

Nein - hast nicht alles richtig gemacht.
Denn ln(a+b) ist nicht das gleiche wie ln(a) + ln(b)

exp(x) + exp(-x) = 4
exp(2x) + 1 = 4exp(x)

Das kommt raus, wenn du mit e^x (oder auch exp(x) - ist das gleiche) multiplzierst. Jetzt ein wenig qudratische Ergänzung. Der Ansatz ist:

exp(2x) - 4exp(x) + a² = a² - 1
(exp(x) - a)² = a² - 1

Bekommst du's jetzt hin ?
redeyesvfr
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Anmeldungsdatum: 31.05.2006
Beiträge: 31
Wohnort: Niedersachsen

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2007 - 18:00:44    Titel:

nicht wirklich!

ich verstehe deinen zusammenhang nicht, wenn ich nach x auflösen möchte.
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 03 Jun 2007 - 18:06:45    Titel:

Du kannst sowas nicht in einem simplen Schritt nach x auflösen...
Der Zusammenhang mit binomischen Formeln:

a² + 2ab + b² = c

Wie löst du das nach a auf ? Ich weiß, ich weiß - du kannst die Lösungsformeln für Polynome zweiten Grades benutzen. Aber es geht auch folgendes:

a² + 2ab + b² = (a + b)²
(a + b)² = c
a + b = +/- wurzel(c)
a = -b +/- wurzel(c)

Und in deinem Beispiel kannst du auf ähnliche Weise versuchen, das anzuwenden - du musst bloß auf eine Form bringen, in der du die Wurzel ziehen kannst.
redeyesvfr
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Anmeldungsdatum: 31.05.2006
Beiträge: 31
Wohnort: Niedersachsen

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2007 - 18:20:36    Titel:

ok das habe ich verstanden und wenn ich jetzt

e^2*x - 4*e^x = -1

mit quadratischer ergänzung erweitere

müsste es doch so lauten

e^2*x - 4*e^x + 4 = 3 <=> (e^x - 2)^2 = 3

wurzel((e^x - 2)^2) = wurzel(3) <=> e^x - 2 =wurzel(3)

das steht dann bei mir am ende

x = ln(wurzel(3) + 2)

"korrigier mich bitte wenn dieses eine falsche schreibweise ist"
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 03 Jun 2007 - 18:34:43    Titel:

Am Ende hast du einen kleinen Vorzeichen-Fehler drin, ansonsten stimmt's:

(exp(x) - 2)² = 3
exp(x) - 2 = -wurzel(3) ODER +wurzel(3)
exp(x) = 2 +/- wurzel(3)
x = ln(2 +/- wurzel(3))
redeyesvfr
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Anmeldungsdatum: 31.05.2006
Beiträge: 31
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BeitragVerfasst am: 03 Jun 2007 - 18:38:45    Titel:

ok vielen dank für die deine mühe habe es "endlich" verstanden Very Happy
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