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Zu zeigenist, dass lim(x^x)=1, x->0
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Zu zeigenist, dass lim(x^x)=1, x->0
 
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Faulus
Gast






BeitragVerfasst am: 17 Jan 2005 - 21:34:15    Titel:

cheat0r .p
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 18 Jan 2005 - 17:31:58    Titel:

@Andromeda: Ist das zulässig, beim x im Exponenten den Grenzübergang zu machen, bei den beiden anderen aber nicht? Confused
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 18 Jan 2005 - 18:00:31    Titel:

@Phyikus

Ich mache auch den Grenzübergang bei den anderen 2, das Ergebnis von x/x ist aber immer 1, solange x nicht exakt = 0 ist. Das heißt, x/x ist unabhängig vom Wert von x.

Gruß
Andromeda
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 18 Jan 2005 - 18:04:34    Titel:

Ich bin skeptisch, was diese Argumentation angeht, denn 0/0 ist nun mal nicht definiert. Und im Exponenten setzt du ja auch exakt x = 0 ein. (sonst müsstest du, wenn du es als sehr nahe bei Null aber noch ungleich Null betrachtest, sowas wie x^(1 + epsilon)/x mit epsilon > 0 schreiben-dann ist der Zähler aber nicht mehr x. Nee, das erscheint mir so komisch, da müsste ich wirklich einen formal sauberen Beweis sehen, damit ich glaube, dass das so gerechnet werden darf. Mr. Green
Hobbymathematiker
Gast






BeitragVerfasst am: 18 Jan 2005 - 19:05:36    Titel:

Der Ansatz

e^(x*ln(x)) = x^x ist schon in Ordnung.
Nun muß nur noch lim x*ln(x) = 0 für x -> 0 bewiesen werden.
Dazu dient folgender Ansatz :

lim x*ln(x) = x^2*ln(x)/x

Dies kann mit lim ln(x)/x = 1 für x -> 0 ( Steht so im Forster ) umgeformt
werden. Und zwar ( da jeder der limes endlich ist ) ;

lim x^2*ln(x)/x = ( lim x^2 ) *( lim ln(x)/x ) für x -> 0

Da lim ln(x)/x = 1, folgt daraus :

( lim x^2 ) *( lim ln(x)/x ) = ( lim x^2 ) * 1, für x -> 0

und ( lim x^2 ) * 1, für x -> 0

geht gegen null.

Also ist lim x*ln(x) = 0 für x ->0.

Gruß Daniel
Andromeda
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 18 Jan 2005 - 19:10:45    Titel:

Hobbymathematiker hat folgendes geschrieben:

Da lim ln(x)/x = 1, folgt daraus :



Also, für x -> 0 geht ln(x) -> - unendlich.

Wieso ist dann lim ln(x)/x = 1?


Gruß
Andromeda
Gast







BeitragVerfasst am: 18 Jan 2005 - 20:45:00    Titel:

Dies folgt mit d'Hospital
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 18 Jan 2005 - 21:05:46    Titel:

Anonymous hat folgendes geschrieben:
Dies folgt mit d'Hospital


l'Hospital wird angewandt bei 0/0 oder unendlich/unendlich.
Vorzeichen mal unberücksichtigt.

Hier liegt aber vor minus unendlich/0 und dieser Grenzwert geht gegen - unendlich und nicht gegen 1.

Gruß
Andromeda
Hobbymathematiker
Gast






BeitragVerfasst am: 19 Jan 2005 - 18:22:08    Titel:

Stimmt, habe ich übersehen.

Aber mir ist ein anderer Ansatz eingefallen,

und zwar

x * ln(x) = ln(x) / ( 1 / x ) und jetzt kann man d´Hospital anwenden.

Dann ist

lim ln(x) / ( 1 / x ) = lim ( 1 / x ) / ( -1 / x^2 ) = lim -x = 0

für x-> 0.

Und damit wäre
lim x^x = lim e^(x*ln(x)) = 1, für x->0

Gruß Daniel
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