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Partialbruchzerlegung
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Bernt
Gast






BeitragVerfasst am: 18 Jan 2005 - 10:24:31    Titel: Partialbruchzerlegung

Hallo, ich soll diesen Ausdruck: (x+2)/(x^6+x^4-x^2-1) zerlegen. Meine Frage ist: Wie hab ich das x hoch 6 zu behandeln d.h. muss ich 6 Teilbrüche machen deswegen (also a/x+b/x^2+...f/x^6)? Wie funktioniert diese einteilung?
Danke
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 18 Jan 2005 - 14:13:08    Titel:

Das ist etwas komplizierter:

Die sogenannte Partialbruchzerlegung PBZ funktioniert folgendermassen:

Den Nenner faktorisieren:
(x^6+x^4-x^2-1) = (x+1)(x-1)(x^4+2x^2+1) = (x+1)(x-1)(x²+1)²

Dann stellt man die Gleichung für die PBZ auf:
A/(x+1) + B/(x-1) + (Cx+D)/(x²+1) + (Ex+F)/(x²+1)² = (x+2) / (x+1)(x-1)(x²+1)²

Jetzt das Ganze mit (x+1)(x-1)(x²+1)² durchmultiplizieren:

A(x-1)(x²+1)² + B(x+1)(x²+1)² + (Cx+D)(x+1)(x-1)(x²+1) + (Ex+F)(x+1)(x-1) = x+2

Das muss man jetzt lösen:
Am Besten setzt man die Werte ein, die man schon kennt:
x=1: A(1-1)(1²+1)² + B(1+1)(1²+1)² + (C1+D)(1+1)(1-1)(1²+1) + (E1+F)(1+1)(1-1) = 1+2
--> A(0)(1²+1)² + B(1+1)(1²+1)² + (C1+D)(1+1)(0)(1²+1) + (E1+F)(1+1)(0) = 3
--> B(1+1)(1²+1)² = 3 --> 8B = 3 --> B = 3/8

x=-1: A((-1)-1)((-1)²+1)² + B((-1)+1)((-1)²+1)² + (C(-1)+D)((-1)+1)((-1)-1)((-1)²+1) + (E(-1)+F)((-1)+1)((-1)-1) = (-1)+2
--> A((-1)-1)((-1)²+1)² + B(0)((-1)²+1)² + (C(-1)+D)(0)((-1)-1)((-1)²+1) + (E(-1)+F)(0)((-1)-1) = 1
--> A((-1)-1)((-1)²+1)² = 1 --> A(-2)(4) = 1 --> -8A = 1 --> A = -(1/8)

Jetzt brauchen wir noch C,D,E,F:
Also setzen wir Werte für x ein:
x=0: A(0-1)(0²+1)² + B(0+1)(0²+1)² + (C0+D)(0+1)(0-1)(0²+1) + (E0+F)(0+1)(0-1) = 0+2
--> A(-1)(1)² + B(1)(1)² + (D)(1)(-1)(1) + F(1)(-1) = 2
--> -A + B - D - F = 2
A und B einsetzen:
--> -(-1/8) + (3/8) - D - F = 2 --> - D - F = 3/2 bringt also nichts !!!

Jetzt könnten wir noch weitere Werte einsetzen oder einen Koeffizientenvergleich machen:
A(x-1)(x^4+2x²+1) + B(x+1)(x^4+2x²+1) + (Cx+D)(x²-1)(x²+1) + (Ex+F)(x²-1) = x+2
A(x-1)(x^4+2x²+1) + B(x+1)(x^4+2x²+1) + (Cx+D)(x^4-1) + (Ex+F)(x²-1) = x+2
A(x^5-x^4+2x^3-2x^2+x-1) + B(x^5+x^4+2x^3+2x^2+x+1) + Cx^5-Cx+Dx^4-D + Ex³-Ex+Fx²-F = x+2

Jetzt setzen wir A und B ein:
(-1/8)(x^5-x^4+2x^3-2x^2+x-1) + (3/8)(x^5+x^4+2x^3+2x^2+x+1) + Cx^5-Cx+Dx^4-D + Ex³-Ex+Fx²-F = x+2

Interessant sind jetzt die Koeffizienten von Cx^5-Cx+Dx^4-D + Ex³-Ex+Fx²-F:
Also x^5: (-1/8)(1) + (3/8)(1) + C = 0 --> C = (-1/4)
Dann x^4: (-1/8)(-1) + (3/8)(1) + D = 0 --> D = (-1/2)
Dann x³: (-1/8)(2) + (3/8)(2) + E = 0 --> E = (-1/2)
Dann x²: (-1/8)(-2) + (3/8)(2) + F = 0 --> F = -1

A = -(1/8) ; B = (3/8) ; C = -(1/4) ; D = (-1/2) ; E = -(1/2) ; F = -1


Damit können wir die Gleichung jetzt wieder zusammensetzen:
(x+2) / (x+1)(x-1)(x²+1)²= A/(x+1) + B/(x-1) + (Cx+D)/(x²+1) + (Ex+F)/(x²+1)²
(x+2) / (x+1)(x-1)(x²+1)²= -(1/8)/(x+1) + (3/8)/(x-1) + ((-1/4)x+(-1/2))/(x²+1) + ((-1/2)x+(-1))/(x²+1)²

Ich hoffe mal ich hab mich nirgends verrechnet...
bernt
Gast






BeitragVerfasst am: 19 Jan 2005 - 17:52:01    Titel:

Erst einmal Danke.
Ok die faktorzerlegung muss ich so erkennen und ausführen das geht nciht anders!? Ich weis auch das ich das quadrat doppelt behandeln muss. Mir ist nur nocht nicht ganz klar wie. Also das x² in der klammer: (ex+f)/( "x²"+1)² muss nicht nochmal zerlegt werden? bzw. Warum die quadratische klammer aber das x² nicht?
Und was mir völlig unklar ist, wieso setze ich bei der aufsplittung des quatratischen Teils cx+d bzw ex+f ein anstatt einfach nur c und e?
wild_and_cool
Moderator
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Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2005 - 19:28:17    Titel:

Wie willst Du denn (x²+1)² noch weiter zerlegen ???
bernt
Gast






BeitragVerfasst am: 20 Jan 2005 - 18:28:56    Titel:

ja ok, ist verständlich. Jedoch bleibt noch meine frage: Warum dieses cx+d und nicht einfach nur c/x²+1? Oder ist es eine Formale Sache, daß ich bei quatratischen nennern das so aufschreibe und bei linearen einfach nur die einzelne Variable? also a/x+1 und bei x² (bx+c)/x²?
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2005 - 16:17:09    Titel:

bernt hat folgendes geschrieben:
Warum dieses cx+d und nicht einfach nur c/x²+1?

Weil das andere falsch wäre-man muss bei quadratischen Faktoren im Nenner den Zähler als lineare Funktion ansetzen. Warum, weiß ich so auch nicht, da müsste man sich den Beweis anschauen.
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