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Schwierige Funktion/Nullstellen/Extremstellen/Wendestellen
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Gast







BeitragVerfasst am: 19 Jan 2005 - 07:43:39    Titel: Schwierige Funktion/Nullstellen/Extremstellen/Wendestellen

Einen schönen guten Morgen!

Ich habe eine Funktion f(x)=Xhoch2 x ehoch-x

davon habe ich die 1. und 2. Ableitung gebildet:

1. ehoch-x(2x - 1 x Xhoch2)
2. ehoch-x(-4x + Xhoch2 + 2)

Jetzt soll ich Nullstellen usw. berechnen, habe aber keine Ahnung wie man solche e-Funktionen null setzt Sad Question

Ich hoffe, mir kann hier jemand helfen...
wild_and_cool
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Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2005 - 09:32:53    Titel:

Also... Grübel...

f(x)= x² * e^(-x)
f'(x)= 2x * e^(-x) + (-1) * x² * e^(-x) = e^(-x) * (2x - x²)
f''(x)= 2 * e^(-x) + (-1) * 2x * e^(-x) + (-2x) * e^(-x) + (-1) * (-x²) * e^(-x) = e^(-x) * (2 - 4x + x²)

also Deine Ableitungen sind damit richtig...

Jetzt die Nullstellen:
x² * e^(-x) = 0 --> Die e-Funktion wird nie Null, damit muss x²=0 sein --> x=0

Jetzt die Extremstellen:
e^(-x) * (2x - x²) = 0 --> (2x - x²) = 0 --> x(2-x) = 0 --> x=0 und x=2
f''(0) > 0 --> Damit ein Minimum
f''(2) < 0 --> Damit ein Maximum

Und noch die Wendestellen:
e^(-x) * (2 - 4x + x²) = 0 --> (2 - 4x + x²) = 0 --> p,q-Formel --> x=2+Wurzel(2) und x=2-Wurzel(2)

x=2-Wurzel(2) liegt zwischen 0..2, also zwischen Minimum und Maximum, da die Funktion keine Definitionslücken hat ist dies eine Wendestelle.

Für x-->unendich:
lim(x-->oo)[x² * e^(-x)] = 0
Daher muss zwischen Maximum und unendlich eine Wendestelle liegen...

Jetzt noch die Punkte ausrechnen und fertig...
Also die verschiedenen x-Werte in f(x) einsetzen !!!
N(0 / 0) ; T(0 / 0) ; H(2 / 4*e^(-2)) ; W1(2-Wurzel(2) / [2-Wurzel(2)]² * e^(2-Wurzel(2))) ; W2(2+Wurzel(2) / [2+Wurzel(2)]² * e^(2+Wurzel(2)) )
Gast







BeitragVerfasst am: 19 Jan 2005 - 17:31:28    Titel:

Vielen vielen Dank Smile Smile Smile

Aber eine Frage hab ich noch: Kommt bei den Wendestellen bei den Y-Werten nicht ein e^-....hin? Da fehlt doch das Minuszeichen, oder?
wild_and_cool
Moderator
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Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2005 - 19:24:22    Titel:

Kann Dir leider nicht folgen...

Wo kommt bitte was hin ???
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