Transformationsmatrix zwischen 2 ONB

inceddy · Newbie Anmeldungsdatum: 11.06.2007 Beiträge: 3

Hi Leute, ich komm irgendwie mit folgender Aufgabe nicht ganz klar. (obwohl sie eigentlich einfach sein soll)

Seien b1, ... ,bn und b'1, ... , b'n zwei Orthonormalbasen von V über R Zeige anhand der Definition der Transvormationsmatrix T für den Basiswechsel, dass T orthogonal ist.

// Also die Spalten von T sind ja nach Def. die Koeffizienten der lin. kombinationen der bi für b'n. Wie zeige ich aber jetzt das diese spalten wieder eine ONB bilden ?!

Wärde dankbar für schnelle Hilfe...

cyrix42 · Verfasst am: 11 Jun 2007 - 18:54:01 Titel:

Naja, einfach ausrechnen: Das diese eine Basis bilden, ist automatisch klar, weil die Matrix invertierbar ist (und also vollen Rang hat).

Dass sie orthonormal sind, rechnet man durch Einsetzen einfach nach:

Sei a_i,j Die b_i-Komponente von b_j'. Du willst zeigen, dass die Vektoren a_...,j orthonormal sind. Also multiplizierst du zwei davon skalar, und erhältst:

a_1,m * a_1,n + a_2,m * a_2,n + ...

=

(a_1,m * b_1) * (a_1,n * b_1) + (a_2,m * b_2) * (a_2,n * b_2) + ...

=

(a_1,m * b_1 + a_2,m * b_2 + a_3,m * b_3 + ...) * (a_1,n * b_1 + a_2,n * b_2 + a_3,n * b_3 + ...)

=

b'_m * b'_n

=1; wenn m=n und 0 sonst.

Cyrix

inceddy · Newbie Anmeldungsdatum: 11.06.2007 Beiträge: 3

vielen Dank!