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Näherungsweise Berechnung einer Reihe
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möp1234
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Anmeldungsdatum: 21.04.2007
Beiträge: 194

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2007 - 08:05:09    Titel: Näherungsweise Berechnung einer Reihe

guten morgen,

habe zu folgender aufgabe ne frage:

Aufgabe:
vorgelegt sind die reihen s = Summe(k=1 bis oo) (-1)^k+1 / k^5 und
t = Summe(k=1 bis oo) 1/k^5

a) Weisen sie die konvergenz der reihen nach (das habe ich geschafft)
b) berechnen sie eine näherung für s, die vom exakten wert weniger als 5*10^-4 abweicht
c)berechnen sie eine näherung für t, die vom exakten wert weniger als 5*10^-4 abweicht

b und c soll man auch noch beweisen, dass es wirklich so ist.

hat jemand ne idee wie ich an b und c rangehen kann ?

mfg

möp


Zuletzt bearbeitet von möp1234 am 12 Jun 2007 - 14:00:00, insgesamt 2-mal bearbeitet
möp1234
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Anmeldungsdatum: 21.04.2007
Beiträge: 194

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2007 - 10:41:05    Titel:

push Smile
möp1234
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Anmeldungsdatum: 21.04.2007
Beiträge: 194

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2007 - 13:57:52    Titel:

kann mir keiner helfen ?

bei folgender aufgabe komme ich nichtmehr weiter:

Aufgabe:
vorgelegt sind die reihen s = Summe(k=1 bis oo) ((-1)^k+1) / (k^5) und
t = Summe(k=1 bis oo) 1/ (k^5)

b) berechnen sie eine näherung für s, die vom exakten wert weniger als 5*10^-4 abweicht


meine rechnung zur reihe s, sieht wie folgt aus:

((-1)^k+1) / (k^5)

= ((-1)^2 * (-1)^k-1) / (k^5)

= ((-1)^k-1) / k ) * (1/k^4)

= ((-1)^k-1) / k ) * (1/4)^k

so ich weiss, dass ((-1)^k-1) / k ) konvergiert und auch dass (1/4)^k konvergiert, aber damit kann ich das problem zur näherungsweisen berechnung nicht lösen..

hat denn wirklich keiner einen tipp ?

mfg

möp
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2007 - 14:00:27    Titel:

Hallo !

1) Etwas mehr hättest Du da schon hinschreiben können !
Denn offensichtlich ist n := 10*m + 7 mit m aus IN u {0} .

Summe(n=1 bis oo) a_n = Summe(m=0 bis oo) 1/(10*m + 7) = (1/10)*Summe(m=0 bis oo) 1/(m + 0,7)
Da 1/(m + 1) < 1/(m + 0,7) und somit
Summe(m=0 bis oo) 1/(10*m + 7) > (1/10)*Summe(m=0 bis oo) 1/(m + 1) ist,
divergiert Summe(m=0 bis oo) 1/(10*m + 7),
weil Summe(m=0 bis oo) 1/(m + 1) divergiert.

***

2c)
t = Summe(k=1 bis oo) 1/k^5 mit
t < 2 [oder irgendeine andere Abschätzungsvorgabe]

Sei m aus IN .
Summe(k=m*n+1 bis (m+1)*n) 1/k^5 < n/(mn)^5 = (1/m^5)*(1/n^4)
t = Summe(k=1 bis n) 1/k^5 + Summe(m=1 bis oo) ( Summe(k=m*n+1 bis (m+1)*n) 1/k^5 )
< Summe(k=1 bis n) 1/k^5 + Summe(m=1 bis oo) (1/m^5)*(1/n^4)
= Summe(k=1 bis n) 1/k^5 + t/n^4
Abweichung: ( t - Summe(k=1 bis n) 1/k^5 ) < t/n^4 < 2/n^4
Mit 2/n^4 < 5*10^-4 erhält man n > 10*(2/5)^(1/4) = ca. 7,96 .
=> Summe(k=1 bis 8 ) 1/k^5 erfüllt die Abschätzung.

2b) kannst Du nun selber durchführen, zumal s = t*(1 - 2/2^5) = (15/16)*t ist.
möp1234
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Anmeldungsdatum: 21.04.2007
Beiträge: 194

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2007 - 14:03:41    Titel:

wieder einmal danke winni für die hilfe!!!! dein mathematisches können erstaunt mich immer wieder

mfg

möp
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2007 - 14:06:00    Titel:

Danke, das Lob geht runter wie Öl. Very Happy
Aber: Ich hoffe, es hilft 'was.
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