Repräsentantenunabhängigkeit von ganzen zu rationalen Zahlen
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hinterdir
Newbie
Anmeldungsdatum: 31.03.2004
Beiträge: 10
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 Verfasst am: 12 Jun 2007 - 11:14:10 Titel: Repräsentantenunabhängigkeit von ganzen zu rationalen Zahlen |
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HI,
mich interessiert hier der sogenannte 2. Schritt.
Zu beweisen ist hier die Repräsentantenunahbhängigkeit der Multiplikation und Addition in Q. Ich habe aber Schwierigkeiten das in Q zu beweisen.
(a,b)~(c,d) äquivalent a*d=c*b
Wer kann mir bei diesem Beweis helfen? Oder ist es genauso wie bei der Multiplikation bei N ? |
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Peneli
Senior Member
Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223
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hinterdir
Newbie
Anmeldungsdatum: 31.03.2004
Beiträge: 10
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| Verfasst am: 12 Jun 2007 - 17:04:18 Titel: |
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HI,
könntest du es mir bitte nocheinmal erklären; irgendwie komme ich da nicht durch.
Die Addition will nicht in meinen Kopf.
Ich habe doch [a,b]+[c,d]:=[a*d + b*c, b*d]
Wie kann ich das beweisen?
Danke |
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Peneli
Senior Member
Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223
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| Verfasst am: 12 Jun 2007 - 18:00:58 Titel: |
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Lies Dir mal bitte den anderen Thread noch mal durch.
Dort hab ich lediglich eine andere Schreibweise für einen Repräsentanten aus Q benutzt, weil ich ja nicht wissen konnte, wie Ihr das schreibt.
Was dort bei mir a1/b1 ist, ist bei Dir (a1,b1) bzw. (a,b). Und a2/b2 ist dementsprechend (a2,b2) bzw. (c,d). |
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hinterdir
Newbie
Anmeldungsdatum: 31.03.2004
Beiträge: 10
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| Verfasst am: 12 Jun 2007 - 18:07:18 Titel: |
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HI,
danke für deine Antworten.
Wenn ich das jetzt richtig verstehe, müssen q1 und q2 dieselbe Klasse haben.
C1 und C2 müssen doch auch gleich sein, oder?
Was sind die Voraussetzungen für die Addition und Multiplikation.
Sorry für die dummen Fragen.
MfG |
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Peneli
Senior Member
Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223
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| Verfasst am: 12 Jun 2007 - 19:51:44 Titel: |
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Ich zitier mal Deine letzte PN. Find's besser, das hier zu lösen.
| hinterdir hat folgendes geschrieben: |
Hi,
ich habe folgende Voraussetzung definiert mit den ich nicht wirklich weiterkomme:
Seien a,b,c,d und a´,b´,c´,d´ Element aus Q
(a,b)~(d´,b´) und (c,d)~(c´,d´)
Das heisst, es gilt:
a/b´= b/a´ und c/d´=d/c´
zu zeigen (a,b)+(c,d):= (a*d+b*c, b*d)
Wenn ich das beweisen möchte:
a/b´ + c/d´= a´/b + c´/d
Wäre nett, wenn du helfen könntest; stehen echt auf dem Schlauch. |
Erst mal zur Korrektur: a, b, c, d, a', b', c' und d' sind nicht aus Q, sondern aus Z (oder N). Aus Q sind dann (a,b), (a',b'), (c,d) und (c',d'). Und die Äquivalenz gilt nicht mit "/", sondern mit "*", also:
(a,b)~(a',b') <=> a*b'=b*a' und logischerweise dann auch (c,d)~(c',d') <=> c*d'=d*c'.
Nun haben wir:
(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd).
Nehmen wir für (c,d) einen beliebigen anderen Repräsentanten her, den wir mit (c',d') bezeichnen, erhalten wir:
(a,b)+(c',d')=(ad'+bc',bd').
Jetzt müssen wir zeigen, dass (ad+bc,bd) und (ad'+bc',bd') Repräsentanten derselben rationalen Zahl sind, dass also gilt: (ad+bc,bd)~(ad'+bc',bd'). Dazu muss einfach nur folgendes gezeigt werden:
(ad+bc)*(bd')=(bd)*(ad'+bc'). Dies geht ganz einfach:
Wir wissen, dass (c,d)~(c',d') und somit c*d'=d*c' gilt. Also:
(ad+bc)*(bd')=abdd'+b²cd'=abdd'+b²dc'=(ad'+bc',bd').
Das war's im Prinzip schon. |
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