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Grenzwertberechnung
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felsensteiner
Gast






BeitragVerfasst am: 19 Jan 2005 - 21:52:56    Titel: Grenzwertberechnung

Hallo allerseits.

ich werd hier bald wahnsinnig mit einer Grenzwertaufgabe:

lim(x->0) (1/x) - (1/(ln(1+x))

Ich habs schon mit jeglicher meinem Mathehorizont entsprechenden Umformung versucht und mit L'Hospital. Aber ich bekomms nicht hin. Raus kommen sollte laut meiner erstellten Grenzwerttabelle übrigens -1/2.

Hat wer einen Tipp wie ich das angehen könnte? Vielleicht überseh ich irgendwas?!

Vielen Danke schonmal!

mfg, felsensteiner
Andromeda
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2005 - 23:03:10    Titel:

Die Lösung ist etwas umständlich, aber vielleicht kann man sie auf elegante Form bringen.

(1/x) - 1/(ln(1+x) =
Code:

ln(x+1) - x
---------------
x*ln(x+1)


Zähler und Nenner gegen 0 => l*Hospital

Code:
  1
-----   -   1
 x+1
----------------------
               x
ln(x+1) +  --------
             x + 1


lässt sich umformen zu
Code:

     1 - (x+1)
--------------------
(x+1)*ln(x+1) + x

=

     -x
--------------------
(x+1)*ln(x+1) + x


=

                -1
-------------------------------
            ln(x+1)
ln(x+1) + -----------  + 1
                 x


<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

lim ln(x+1) = ln(1) = 0

    ln(x+1)                1
lim ------      =  lim ----------     = 1    (mit l'Hospital)
      x                    x+1

<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<


=>


                 -1
lim ------------------------------------
                   ln(x+1)
     ln(x+1) + ---------------  + 1
                       x

             -1
=     ---------------    = -1/2
      0   +   1  +  1



Gruß
Andromeda
felsensteiner
Gast






BeitragVerfasst am: 20 Jan 2005 - 00:00:24    Titel:

Vielen vielen Dank!!!
War trotz allem noch meilenweit von der lösung entfernt :/
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