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Extrema bei einer Funktion mit 2 Unbekannten
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bwl-studdi
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Anmeldungsdatum: 30.11.2004
Beiträge: 14
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2005 - 22:05:02    Titel: Extrema bei einer Funktion mit 2 Unbekannten

Hi Leute.

ich hab folgendes Problem:

Für die Funktion
z=x^4+y^4-x^2-y^2+2*x*y

soll ich alle Extrema bestimmen.

also hab ich die Funktion erst mal nach x und dann nach y abgeleitet.

f'x(z)=4x^3-2x+2y
f'x(z)=4y^3-2y+2x

die muss ich ja dann auch =0 setzen oder??

mache ich das mit dem Einsetzverfahren oder mit dem Additionsverfahren.
Ich hab mich da ein wenig verfranzt und hab einfach mal beide addiert.
da kam dann raus:

x^3 = -y^4 ===> :/

Und jetzt weiss ich nicht mehr weiter!
Wäre schön wenn mir mal einer da aus der Patsche helfen könnte!

Vielen Dank schon mal

Alexander
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2005 - 23:56:19    Titel:

Habe das etwas umgeformt

1) 4x³ - 2(x-y) = 0 = 2x³ - (x-y)
2) 4y³ + 2(x-y) = 0 = 2y³ + (x-y)

Aus 2) folgt

x = y - 2y³

eingesetzt in 1)

0 = 2(y-2y³)³ - (y-2y³ - y) =>

2(y-2y³)³ = -2y³ =>
y-2y³ = -y³ =>
y3 = y =>
y = (+-) 1 und y = 0

entsprechend für x berechnen.

Es gibt 3 Extrema, einmal im Ursprung (0/0), dann bei (-1/1) und (1/-1).



Gruß
Andromeda
Mirow
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Anmeldungsdatum: 20.12.2004
Beiträge: 82

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2005 - 04:42:47    Titel:

Andromeda hat folgendes geschrieben:
2(y-2y³)³ = -2y³ =>
y-2y³ = -y³ =>


Wie hast Du das denn umgeformt?

2(y-2y³)³ = -2y³ | /2
(y-2y³)³ = -y³

Du hast mich ja schonmal mit Umformungen verblüfft. Wie machst Du das hier?

PS: ist http://www.atomium.gmxhome.de deine Homepage?

Wenn ja...
1. Sie ist wirklich sehr schön
2. Vielleicht sollte ich vom "Du" zum "Sie" wechseln Wink
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2005 - 09:35:56    Titel:

Mirow hat folgendes geschrieben:
Andromeda hat folgendes geschrieben:
2(y-2y³)³ = -2y³ =>
y-2y³ = -y³ =>


Wie hast Du das denn umgeformt?

2(y-2y³)³ = -2y³ | /2
(y-2y³)³ = -y³

Du hast mich ja schonmal mit Umformungen verblüfft. Wie machst Du das hier?



Tschuldigung, war natürlich ein Tippfehler. Die ^3 auf der rechten Seite ist versehentlich reingekommen. Man sollte auf dem Konzeptpapier halt doch deutlicher schreiben.

Muss richtig heißen

2(y-2y³)³ = -2y³ =>
y-2y³ = -y =>
y³ = y

Was ja zum gleichen Ergebnis führt, nämlich

y = (+-) 1 und y = 0



Hab ich's jetzt richtig aufgeschrieben?

Gruß
Andromeda
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2005 - 15:48:55    Titel:

Fehlt noch eine Überlegung, ob diese 3 Punkte auch wirklich Extrempunkte sind.

MfG Mirona
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2005 - 16:09:09    Titel:

@Mirona

Hast Recht, wenn man die 2. Ableitungen so anschaut, dann erkennt man aber schnell, dass für die Werte (+-) 1 (Minimum) wie auch für (0/0) (Maximum) Extremstellen gegeben sind

Gruß
Andromeda
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2005 - 16:59:13    Titel:

Hm, ich erkenne das nicht so schnell.

Bei den beiden Punkten (1,-1) und (-1,1) sehe ich die Argumentation über die zweite Ableitung ein.

Aber im Punkt (0,0) ist bei mir (als ich es nachgerechnet hab) die zweite Ableitung indefinit.

MfG Mirona
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2005 - 17:04:53    Titel:

f'x(z)= 2x³ - (x-y) =>

f''x(z) = 6x² - 1

Für x = 0 eingesetzt, ergibt

f''x(z) = -1 => Maximum

Gruß
Andromeda
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2005 - 17:20:49    Titel:

Hab mir dies nun mal "von Hand" überlegt.

Im kritischen Punkt (0,0) besitzt die Funktion überhaupt keinen lokalen Extremwert.

Wenn man auf der Geraden x=y entlang wandert, so vereinfacht sich z zu 2*x^4 und diese Funktion besitzt in 0 ein lokales Minimum mit dem Wert 0 und sonst Werten echt grösser als 0. Insbesondere nimmt die Funktion z damit in einer Umgebung von (0,0) Werte echt grösser als 0 an.

Wenn man auf der Geraden y=0 entlang wandert, so vereinfacht sich z zu x^4-x^2 und diese Funktion besitzt in 0 ein lokales Maximum mit dem Wert 0 und sonst Werten echt kleiner als 0. Insbesondere nimmt die Funktion z damit in einer Umgebung von (0,0) Werte echt kleiner als 0 an.

MfG Mirona
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2005 - 18:37:19    Titel:

@Mirona

Gegen Deine Argumente gibt's wohl nichts zu sagen.



Gruß
Andromeda
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