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Gesetz der grossen Zahlen
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Reese
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Anmeldungsdatum: 15.10.2004
Beiträge: 38

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2005 - 18:47:50    Titel: Gesetz der grossen Zahlen

Hallo! Ich bräuchte mal schnell Hilfe bei dieser Aufgabe
Mein Hauptproblem dabei ist, dass ich nicht so genau weiß, wie das Gesetz der grossen Zahlen überhaupt aussieht! Unser Prof. schmierte da irgendwie ein paar Formeln an die Tafel, wo ich aber gar nicht durchblicke und mit denen ich auch gar nix anfangen kann!
Ich hab zwar versucht anzufangen, weiß aber nicht so recht, wo ich anfangen soll und was ich machen soll.
Ich hoffe dass jemand was mit der Aufg. anfangen kann und mir das auch ein bißchen erklären kann. Embarassed
Vielen Dank schonmal im voraus!!!


Aufg. wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit für eine 6 beim hundertmaligen Wurf eines Würfels um weniger als 0,05 von der Wahrscheinlichkeit (1/6) für eine 6 abweicht? Geben Sie mit dem Gesetz der grossen Zahlen eine untere Schranke für diese Wahrscheinlichkeit an.
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2005 - 20:20:49    Titel:

Hallo reese,

ich versuche mal etwas Licht ins Dunkel zu bringen.

"Das" Gesetz der grossen Zahlen gibt es nicht unbedingt ( genauer gesagt ist dies eine Oberbezeichnung für einen ganzen Typus von Sätzen).

Ausgangspunkt ist die Betrachtung von Summen von Zufallsgrössen und der Versuch deren Verhalten für immer mehr Summanden ("für grosse i") zu beschreiben.

Sei also X(i) eine Zufallsvariable für alle natürlichen i, und S(i) := X(1) + ... + X(i) die zugehörige Reihe, so wird versucht S(i) für grosse i "irgendwie" zu beschreiben.

Haben die X(i) jeweils den Erwartungswert E(i) (Gesetze der grossen Zahlen fordern immer die Integrierbarkeit) so sagt man, die Folge der X(i) genüge dem Gesetz der grossen Zahlen, falls die Folge 1/i*((X(1)-E(1))+ ... + (X(i)-E(i))) gegen 0 konvergiert (es wird also jeder Summand erst um den eigenen Erwartungswert zentriert und dann summiert, dies ist aus bestimmten Gründen nötig).

Es gibt hierbei verschiedene "Konvergenzbegriffe" , ich verwende im Folgenden die fast-sichere Konvergenz, dann spricht man vom starken Gesetz der grossen Zahlen.

Es gibt dann zum Beispiel den Satz von Kolmogorov (auch Kolmogorovsches Gesetz der grossen Zahlen genannt) : Jede Folge unabhängiger, identisch verteilter ( integrierbarer , reeller) Zufallsgrössen genügt dem starken Gesetz der grossen Zahlen.

Man kann also unter sehr schwachen Bedingungen (welche noch weiter abgeschwächt werden können) die Folge der S(i) durch die Folge der summierten Erwartungswerte ( versehen mit dem Faktor 1/i ) approximieren.

Dieser Sachverhalt besitzt sehr viele Anwendungen (sowohl in der Wahrscheinlichkeitstheorie/Statistik, als auch in anderen Teilgebieten der Mathematik).


Wenn man weitere Forderungen an die X(i) stellt, so kann man "bessere" Aussagen für die S(i) erhalten.

Fordert man ergänzend zu oben die quadratische Integrierbarkeit (also die Existenz von Erwartungswert und Streuung) so lässt sich wie oben die Folge der zentrierten, standarisierten Summen betrachten ( also die Folge, wo jeder Summand erst um seinen Erwartungswert zentriert wird und dann durch die Streuung geteilt wird).
Wenn diese Folge dann (schwach in Verteilung) gegen die Normalverteilung ( mit Erwartungswert 0 und Streuung 1) konvergiert, so sagt man, für die Folge X(i) gilt der zentrale Grenzwertsatz.

Während sich aus dem Gesetz der grossen Zahlen, 0-1-Gesetze ergeben ( man also Fragen beantworten kann, ob ein bestimmtes Ereigniss eingetreten ist oder nicht), kennt man bei dem zentralen Grenzwertsatz sogar die "Grenzverteilung" der S(i) (man kann also Fragen nach bestimmten Wahrscheinlichkeiten oder deren Abweichungen beantworten).

Als ein Beispiel für einen Grenzwertsatz bietet sich der Satz von deMoivre-Laplace an.

Dieses ist theoretisches Hintergrundwissen für Gesetze der grossen Zahlen/Grenzwertsätze.

Aus dem Grenzwertsatz von deMoivre-Laplace (genauer der Integralen Version) lässt sich der Satz von Bernoulli (dieser heisst manchmal auch Gesetz der grossen Zahlen) ableiten, und dieser Satz von Bernoulli ist wohl der Satz welchen du für deine Aufgabe benötigst.

MfG Mirona
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2005 - 20:40:16    Titel:

Um also die Aufgabe zu lösen, würde ich folgenderweise vorgehen ( ich verwende den Satz von deMoivre-Laplace, du solltest halt den Satz benutzen, welchen dein Professor dir gegeben hat).

Schritt 1 : gesuchte Wahrscheinlichkeit hinschreiben

Also die Wahrscheinlichkeit dafür, das die relative Häufigkeit des Auftretens des Ereignisses sich von 1/6 um nicht mehr als 0.05 unterscheidet.

Schritt 2 : umformen

Also "in der Wahrscheinlichkeitsklammer" die Ausdrücke so umformen, das das benutzte Gesetz anwendbar ist (bei mir also zentrieren und standarisieren).

Schritt 3 : Grenzwertverteilung verwenden

Die Wahrscheinlichkeit durch die "Grenzverteilung" ersetzen und ausrechnen ( bei mir also die Normalverteilung und dann das Integral nachschlagen ).

Hoffe, das hilft dir etwas weiter.

MfG Mirona
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