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Extremwertaufgabe
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geli_th
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Anmeldungsdatum: 07.12.2004
Beiträge: 66

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2005 - 20:13:25    Titel: Extremwertaufgabe

hi
Welchen Neigungswinkel muss die Mantellinie eines kegelförmigen Turmdaches haben, damit bei gegenbenen Dachraum V die zu deckende Fläche möglichst klein wird. Wie viel m² Dachziegel müssen zur Eindeckung eines Dachraums von V = 16 pi m³ angeschafft werden, wenn wegen der Überdeckung u des Verschnitts um 25 % mehr gerechnet werden muss?

so weit bin ich selbst gekommen, glaub aber nicht dass es stimmt
Haupbedingung: M (r, s)
M = r * pi *s
Nebenbedingung: s = Wurzel(r² + h²)
V = (r²*pi*h)/3
h = 3V/(r²*pi)
s = Wurzel(r² + 3V/(r²*pi))
Zielfunktion:
M(r) = r*pi* Wurzel(r² + 3V/(r²*pi)) = Wurzel(r^4*pi + 3Vr²*pi²/r²*pi)
= Wurzel(r^4*pi + 3V*pi)
M'(r) = 1/2 *(r^4*pi + 3V*pi)^(-1/2) *4r³*pi = 2r³*pi * (r^4*pi + 3V*pi)^(-1/2) = 2 * Wurzel[(r^6 *pi²) / (pi *(r^4 +3V))] =
= 2r³*Wurzel(pi)/Wurzelr^4 + 3V)
M''(r) = [6r²*Wurzel(pi) * Wurzel(r^4 +3V) - 2r³*Wurzel(pi) *1/2 * (r^4 +3V)^(-1/2) * 4r³] / (r^4 +3V) =
=[2r²*Wurzel(pi)*(3 * Wurzel(r^4 +3V)-2r^4)] / Wurzel[(r^4 +3V)³]

M'(r) = 0
0 = 2r³*Wurzel(pi)/Wurzelr^4 + 3V)
r = 0 --> nicht möglich
wie gesagt glaube nicht dass dies der richtige rechnungsweg ist u wie geht diese aufgabe weiter
bitte kann mir jemand diese aufgabe erklären
lg geli
???
Gast






BeitragVerfasst am: 21 Jan 2005 - 22:05:55    Titel:

Bitte kannst du uns diese Aufgabe erklären?

V = 1/3*pi*r²*h

r ist konstant, weil durch den Turmradius bestimmt ist,
V ist auch festgelegt,
d.h., es gibt keine Variationsmöglichkeiten für h und also für s.

Wie kann man unter solchen Bedingungen etwas optimieren ?


Question Question Question Question Question Question Question Question Question Question Question Question
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2005 - 22:43:12    Titel:

Hi,

es gilt:
V = 1/3 * pi * r² * h (I)
O = Pi * r * s (II)
s = sqrt(r²+h²) (III)
-----------------------------


Zuletzt bearbeitet von aldebaran am 22 Jan 2005 - 17:08:24, insgesamt einmal bearbeitet
geli_th
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Anmeldungsdatum: 07.12.2004
Beiträge: 66

BeitragVerfasst am: 22 Jan 2005 - 11:01:08    Titel:

ich glaube das habe ich verstanden, aber was heißt sqrt?
wurzel oder??
u warum wird aus
O = sqrt((pi²*r^4 + 9*V²)/r²)
plötzlich
O = sqrt[(pi²* + (9*V²)/r²)] (Zielfunktion)
lg


Zuletzt bearbeitet von geli_th am 22 Jan 2005 - 11:36:25, insgesamt einmal bearbeitet
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 22 Jan 2005 - 11:35:58    Titel:

Hi
sqrt(...) = square root = Wurzel aus (...)
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 22 Jan 2005 - 16:42:18    Titel:

Hi, bin wieder da!
Nun nochmals zur Lösung:(diesmal mit richtigen Potenzen)
es gilt:
V = 1/3 * pi * r² * h (I)
O = Pi * r * s (II)
s = sqrt(r²+h²) (III)
-----------------------------
aus (I): h = (3*V)/(pi*r²)
in (III): s = sqrt(r² + [(3*V)/(pi*r²)]²) = sqrt(r² + 9*V²/(pi²*r^4))
in (II): O = pi*r*[sqrt[r² + (9*V²)/(pi*r^4)]]
daraus: O = sqrt[(pi²*r^4 + (9*V²)/r²)] (Zielfunktion)

O'(r)= [0,5*[(pi²*r^4 + (9*V²)/r²)] ^(-0,5) ]*(4*pi²*r³ - 18*V²/r³) = 0
d.h.: (4*pi²*r³ - 18*V²/r³) = 0 ===> r = (6.)sqrt(4,5*V²/(pi²))

eingesetzt ergibt sich r = (6.)sqrt(1152) = 3,2377m
für h folgt: h = 3*V/(pi*r²) = 48*pi/(pi*(3.)sqrt(1152)) = 4,5789m
für s folgt: s = sqrt(r²+h²) = sqrt(3,2377² + 4,5789²) = 5,6079m

Probe: V= 1/3 * pi*r²*h = 1/3 * pi * 3,2377² * 4,5789 = 15,99975*pi ~ 16*pi

Neigungswinkel:
Winkel(alpha) = arctan(h/r) = arctan(4,5789/3,2377) = arctan(sqrt(2)) = (-)54,746°

Menge Dachziegel:
Fläche A = 1,25 * pi * r * s = 1,25 * pi * 3,2377 * 5,6079 = 71,3012 m²
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