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Vektorraum und Unterraum
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Gast4
Gast






BeitragVerfasst am: 23 Jan 2005 - 15:30:39    Titel: Vektorraum und Unterraum

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Es seien V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und U ein Unteraum von V. Beweisen Sie:

(a) Es existiert eine Abbildung f E L(V,V) mit Bild(f) = U.

(b) Es existiert eine Abbildung g E L(V,V) mit Kern(g) = U.

Wäre für hilfe sehr dankbar!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 23 Jan 2005 - 18:12:19    Titel:

Es gibt sicher einen Beweis ohne Matrizen, aber ich ein wenig faul Smile Wähle eine Basis von V, etwa {v1,...,vn}. Zu dieser Basis gibt es einen eindeutigen Vektorraumautomorphismus nach K^n, phi, mit phi(vi) = (0,...0,1,0,...,0) an der i-ten Stelle. Wähle eine Basis von U, etwa {u1,...,un} und betrachte die Bilder phi(u1),...,phi(uk).

(a) Z.z.: Es existiert eine Abbildung f E L(V,V) mit Bild(f) = U. Setze

A = (phi(u1)^T phi(u2)^T ... phi(uk)^T...phi(uk)^T). (nxn-matrix)

Behauptung: f (x) = phi^(-1) (A * phi(x)) tut es. Setze die Basisvektoren {v1,...,vn} in f. Dann bekommt man f(vi) = phi^(-1)(A*(0,...,0,1,0,...,0)^T) = phi^(-1)(phi(ui)) = ui. Also ist Lin({f(vi) | 1<=i<= n}) = Lin({ui | 1<= i <=k }) = U.

(b) Z.z.: Es existiert eine Abbildung g E L(V,V) mit Kern(g) = U.

Geht so ähnlich. Ich habe leider jetzt keine Zeit mehr...
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