Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Monotonie erkennen
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Monotonie erkennen
 
Autor Nachricht
hemminator
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 18.06.2007
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 27 Jun 2007 - 14:22:22    Titel: Monotonie erkennen

Hi @ all,

hab ein echtes Problem mit dem erkennen von Monotonieverhalten von Funktionen.

Hab da mal 2 Beispielaufgaben.
f(x) = (3x^2 +3)/(x^2 +3)

und

g(x) = -0,25x^3 *(x-3)

Hab dann die erste Ableitung gebildet

f'(x) = 12x/(x^2 +3)^2
&
g'(x) = -x^3 + (9/4)x^2

Wie gehts dann aber weiter???
Muss anscheinend die erste Ableitung 0 setzen. Aber so bekomm ich doch blos die Extremwerte.


Zuletzt bearbeitet von hemminator am 27 Jun 2007 - 14:59:06, insgesamt einmal bearbeitet
MothersLittleHelper
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 01.04.2007
Beiträge: 2501

BeitragVerfasst am: 27 Jun 2007 - 14:44:59    Titel:

Durch die Nullstellen deiner ersten Ableitungsfunktion wird der Definitionsbereich in Abschnitte unterteilt.

In jedem Abschnitt ist das Monotonieverhalten gleich.

Du überprüfst das Monotonieverhalten, indem du die erste Ableitungsfunktion f' an einer Stelle x0 aus dem (Inneren des) jeweiligen Abschnitt bestimmst.

f'(x0) > 0 ==> die Funktion f ist in diesem Abschnitt streng monoton wachsend
f'(x0) < 0 ==> die Funktion f ist in diesem Abschnitt streng monoton fallend

-------------------
Tipp:
Plotte doch einfach mal deinen Funktionsgraphen und dazu noch die Ableitungsfunktion.
Dann solltest du die Zusammenhänge schön erkennen.


Zuletzt bearbeitet von MothersLittleHelper am 27 Jun 2007 - 15:08:47, insgesamt einmal bearbeitet
mathefan
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 27 Jun 2007 - 14:52:17    Titel:

Zitat:
Muss anscheinend die erste Ableitung 0 setzen. Aber so bekomm ich doch blos die Extremwerte.

eben nicht nur dies:
du weisst dann auch, dass zB bei deiner ersten Kurve bei x= 0 ein Minimum ist
folglich ist links von dieser Stelle der Anstieg f'(x) eben negativ, und in dem Bereich, wo f'(x) <0 fällt die Kurve (monoton)
entsprechend: für x>0 ist f'(x) > 0 , dh die Kurve steigt.

Beim zweiten Beispiel stimmt bei deiner Ableitung der Faktor 6/4 nicht...
ansonsten:
du wirst bei x=0 einen Sattelpunkt haben und bei x=2,25 ein Maximum.
links vom Maximum ist f'(x) > 0 (= nur bei x=0), also in diesem Bereich ist g(x) monoton steigend ... usw...
hemminator
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 18.06.2007
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 27 Jun 2007 - 14:57:07    Titel:

Also ich hab das jetzt so verstanden: In der ersten ableitung den x-wert der Nullstelle einsetzten. Ist der so erhaltene Wert >= 0 ist sie monoton wachsend, bei <=0 monoton fallend. Richtig?

Und wie ist das mit streng monoton?

PS
Hab die falsche Ableitung korrigiert
MothersLittleHelper
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 01.04.2007
Beiträge: 2501

BeitragVerfasst am: 27 Jun 2007 - 15:06:41    Titel:

Nein.

Bei deiner ersten Funktion f hat die erste Ableitung f' bei x = 0 ein Nullstelle.

x = 0 teilt die die x-Achse (deine Defininitionsmenge) in zwei Abschnitte:

1. Abschnitt: x < 0
2. Abschnitt: x > 0

Aus dem ersten Abschnitt wählst du die eine Stelle, z.B. x = -1
Du rechnest f'(-1) aus: f'(-1) = 12(-1)/((-1)^2 +3)^2 = -3/4
Dieser Wert ist kleiner als null.
Damit ist deine Funktion im ersten Abschnitt streng monoton fallend.

Im zweiten Abschnitt kannst du ebenso verfahren.

--------------------------
mathefan hat dir einen anderen Lösungsweg vorgeschlagen.
Der ist sehr elegant, wenn du sowieso die Extrempunkte bestimmst.
Dann fällt das Monotonieverhalten als Nebenprodukt ab.

--------------------------
Bzgl. der strengen Monotonie habe ich meinen ersten Beitrag noch einmal korrigiert.
mathefan
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 27 Jun 2007 - 15:09:41    Titel:

Zitat:
Also ich hab das jetzt so verstanden: In der ersten ableitung den x-wert der Nullstelle einsetzten.
Ist der so erhaltene Wert >= 0 ist sie monoton wachsend,...

scheint, du hast Nicht verstanden Sad
denk noch mal darüber nach,
... wie ist der Sachverhalt richtig zu notieren?
hemminator
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 18.06.2007
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 27 Jun 2007 - 15:37:45    Titel:

ah...jetzt habs ich glaub verstanden.....



Dankeschön Very Happy
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Monotonie erkennen
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum