Eigenwert einer Matrix

LukeS · Newbie Anmeldungsdatum: 31.08.2006 Beiträge: 22

Hallo zusammen ich hab da ein Problem mit einer Eigenwert-Aufgabe:
Und zwar krieg ich nur eine der zwei Lösungen:

Ich hab die Matrix A = 1/2 * [3, 1; 1, 3]

Für den Eigenwert muss ich ja folgendes rechnen:
A - I*lambda = 0;

Da krieg ich dann:

3/2 - lambda + 1/2 = 0
1/2 + 3/2 - lambda = 0

Beide Gleichungen geben die Lösung 2.
Aber 1 wäre auch eine Lösung. Wie kriege ich die?
Was mach ich falsch?

Gruss LukeS

MothersLittleHelper · Senior Member Anmeldungsdatum: 01.04.2007 Beiträge: 2501

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Das charakteristische Polynom ist die Determinante von (A - lambda*I).
[Den Koeffizienten 1/2 kannst du ignorieren.]

In deinem Fall

det( [3-lambda, 1; 1, 3-lambda] ) = (3-lambda)^2 - 1

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 28 Jun 2007 - 15:44:57 Titel:

Hallo LukeS,

Du darfst nicht die Zeilen der Matrix zu Bestimmungsgleichungen machen. Es geht darum, für welche Werte von lambda die Matrix A-lambda*I singulär wird. Singulär ist eine Matrix, deren Zeilen (oder Spalten) linear abhängig sind. Und das ist der Fall, wenn ihre Determinante verschwindet.

Hintergrund: Eigenvektoren sind diejenigen Vektoren, bei denen durch die lineare Abbildung nichts gedreht, sondern nur gestaucht oder gestreckt wird: Ax=lambda*x. Die Eigenwerte sind die Stauch-/Streckfaktoren.

Die Eigenwertgleichung erhältst Du also aus der Determinante der eigenwertmatrix. Da bekommst Du hier eine quadratische Gleichung, also zwei Eigenwerte.

Wenn die Gleichung ein Doppelwurzel hat, also beide Eigenwerte zusammenfallen, spricht man von "entarteten Eigenwerten".

Hintergrund: In diesem Fall gibt es nicht nur einzelne Geraden, auf denen Vektoren nicht gedreht werden, sondern sogar Ebenen oder höherdimensionale Unterräume.

Gruß, mike

LukeS · Newbie Anmeldungsdatum: 31.08.2006 Beiträge: 22

Danke vielmals!
Jetzt hab ichs hingekriegt.

Gruss LukeS