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Differentialgleichung
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eMMsen
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Anmeldungsdatum: 12.07.2007
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 12 Jul 2007 - 17:20:14    Titel: Differentialgleichung

he leute habe mal ne frage betreffs der DGl y"+2y´+2y=x(e^x-2x)

die Lösung der homogenen müsste y=C1 cos x e^x + C2 sin x e^(-x)
sein.

aber wie komme ich an die Lösung der inhomogenen ?

is ne Aufgabe aus ner Klausur und sollte möglichst in weniger als 28 min gelöst werden

hoffe mir kann jemand helfen. DANKE
Matthias20
Moderator
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Moderator


Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 12 Jul 2007 - 17:28:27    Titel:

waehle doch mal ein paar moegliche Ansaetze fuer die Stoerfunktion und achte dabei auf Resonanzfaelle, die mit y_h auftreten koennten. Tritt eine Resonanz auf, dann multipliziere y_p mit x und zwar so oft, bist keine Resonanz mehr vorhanden ist.

Ok?

Gruss:


Matthias
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 12 Jul 2007 - 18:49:21    Titel:

Hallo !

Ermitteln einer speziellen Lösung.

Man sieht, dass xe^x , e^x , x², x und eine Konstante ggfs. eine Rolle spielen können.
Ansatz: y = axe^x + be^x + cx² + dx + e

y' = axe^x + (a+b)e^x + 2cx + d
y" = axe^x + (2a+b)e^x + 2c

Gegeben: y" + 2y´+ 2y = xe^x - 2x²

y", y', y einsetzen.
axe^x + (2a+b)e^x + 2c + 2*(axe^x + (a+b)e^x + 2cx + d) + 2*(axe^x + be^x + cx² + dx + e) = xe^x - 2x²
(a+2a+2a)xe^x + (2a+b+2a+2b+2b)e^x + (2c)x² + (4c+2d)x + (2c+2d+2e) = xe^x + (-2)x²

=>
5a = 1 --> a = 1/5
4a+5b = 0 --> b = -4/25
2c = -2 --> c = -1
4c+2d = 0 --> d = 2
2c+2d+2e = 0 --> e = -1

=> y = 0,2*xe^x - 0,16*e^x - x² + 4x - 1

TEST: Ergebnis in die DGL einsetzen. (Deine Aufgabe! Wink )
eMMsen
Newbie
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Newbie


Anmeldungsdatum: 12.07.2007
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 17 Jul 2007 - 11:08:43    Titel:

danke jungs
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