Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

LGS mit unendlich vielen Lösungen
Gehe zu Seite 1, 2, 3  Weiter
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> LGS mit unendlich vielen Lösungen
 
Autor Nachricht
Skully
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 04.05.2007
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2007 - 14:59:32    Titel: LGS mit unendlich vielen Lösungen

Hallo,

Ich brauche Hilfe beim Lösen von folgendem Gleichungssystem:
a+b+c=11
2a-3b+4c=6

Ich habe jetzt die erste Gleichung mit 2 multipliziert und dann gleichung II minus Gleichung I gerechnet..

Komme dann auf folgendes:
a+b+c=11
-5b+2=-16

Jetzt muss ich doch für die überzähligen Variablen Parameter einsetzen, oder?

also wäre c=t

dann hab ich folgendes:
I a+b+t=11
II -5b+2t=-16

Ist das sinnvoll?
Wenn ich jetzt nach b auflöse, ergibt sich:
b=3,2-2t

Ich bin mir wie gesagt, nicht sicher ob diese Schritte sinnvoll sind, und die Frage die ich nun eigentlich habe, ist: Wie löse ich nach a auf?

Freue mich über jede Hilfe!

Lg, Skully
M_Hammer_Kruse
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 6982
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2007 - 15:27:28    Titel:

Hallo Skully,

abgesehen davon, daß Du Dich schon im ersten Schritt verrechnet hast, bist Du im Prinzip auf dem richtigen Weg. Aber fange es lieber von vorne an:

- Du hast zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, also eine zu viel. Ersetze eine Unbekannte durch einen Parameter, wie Du es auch gemacht hast: c=t.
- Wenn Du das in beiden Gleichungen machst, dann kannst Du den t-Anteil in beiden Gleichungen auf die rechte Seite bringen. Dann hast du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen, in denen nur noch a und b vorkommen.
- Dieses Gleichungssystem kannst Du nach den üblichen Verfahren lösen. Weil rechts in beiden Gleichungen etwas mit t steht, taucht das t automatisch auch in den Lösungen für a und b auf.
- Damit hast Du alle drei Variablen (a, b und c) in Abhängigkeit von t dargestellt: Bei a und b in den eben errechneten Lösungen, bei c durch den Ansatz c=t.

Gruß, mike
Skully
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 04.05.2007
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2007 - 16:41:52    Titel:

Erstmal vielen Dank für deine Hilfe!

Ich habe jetzt Folgendes gerechnet:
c=t
a+b+t=11
2a-3b+4t=6

Bringe ich t auf die andere Seite, erhalte ich:
a+b=11-t
2a-3b=6-4t

Stimmt das so?
Wenn ich nun nach b auflösen möchte, würde ich das ähnlich wie oben machen, d.h. erste Gleichung mit 2 multiplizieren, zweite Gleichung mit -1 multiplizieren und dann beide Gleichungen addieren.
Hier auch wieder die Frage: Ist das sinnvoll, bzw. korrekt oder muss ich das anders machen?

Lg
MothersLittleHelper
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 01.04.2007
Beiträge: 2501

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2007 - 17:38:05    Titel:

Du wendest hier dein Standardverfahren an, wie du immer zwei Gleichungen mit 2 Variablen (hier: a und b) behandelst.

Das t aüf er rechten Seite spielt die Rolle einer Konstanten.

a+b=11-t | *2
2a-3b=6-4t | *(-1)
------------------------------
2a + 2b = 22 - 2t
-2a + 3b = -6 + 4t
------------------------------
2a + 2b = 22 - 2t
5b = 16 + 2t
-----------------------------
also
5b = 16 + 2t
=> b = 3,2 + 0,4t
eingesetzt in die erste Gleichung:
a + b = 11 - t
=> a + 3,2 + 0,4t = 11 - t
=> a = 7,8 - 1,4t
----------------------------
Ergebnis:
a = 7,8 - 1,4t
b = 3,2 + 0,4t
c = t

-------------------------------
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.
mathefan
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8791

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2007 - 21:55:51    Titel:

Zitat:

a+b+c=11
2a-3b+4c=6

das sind zwei lineare Gleichungen in drei Variablen - damit du eine geometrische Deutung
besser verstehst, schreibe ich die Buchsatben x, y, z für die Varialen:

x+y+z=11
2x-3y+4z=6

das sind die Gleichungen zweier Ebenen im Raum
Und deine Aufgabe "Lösungen suchen" heisst nun konkret:
Ermittle eine Gleichung für alle Punkte, die beide Ebenengleichungen erfüllen..
Klartext:
Die Aufgabe heisst: Ermittle eine Gleichung der Schnittgeraden..

Ich wähle (zur Abwechslung zu oben) mal für y den Parameter s
also mit s=y ->

x+z = 11 - s
2x+4y = 6 +3s

daraus folgt dann - wie oben:

x= 19 - (7/2)*s
y= 0 + s
z= - 8 + (5/2)*s

die (Vektor-) Gleichung der Schnittgeraden ist also

(x ; y ; z ) = ( 19 ; 0 ; -8 ) + s*( -7/2 ; 1 ; 5/2 )

MothersLittleHelper hat dir oben eine Gleichung der selben Schnittgeraden notiert - in der Form

(x ; y ; z ) = ( 7.8 ; 3.2 ; 0 ) + t*( -1.4 ; 0.4 ; 1 )

er hat einfach einen anderen Startpunkt auf der Schnittgeraden, aber den gleichen
Richtungsvektor:
( -7/2 ; 1 ; 5/2 ) * (2/5) = ( -1.4 ; 0.4 ; 1 )
Smile
Skully
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 04.05.2007
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2007 - 22:54:16    Titel:

Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe nun allerdings noch mal eine Frage zu einer anderen Aufgabe..

Ich habe 3 Gleichungen, und 2 Unbekannte. In Folge dessen müsste doch ein Gleichung wegfallen, oder?

Die folgenden Gleichungssysteme kann ich so allerdings nicht Lösen, d.h. Ich habe mich wahrscheeinlich verrechnet...

Hier mal die Gleichungen und meine Rechenschritte:

1.)
-a+3b=0
2a-6b=1
a+b=3

Ich habe nun Gleichung I mit 2 multipliziert und zu Gleichung II addiert:
-a+2b=0
0+0=1 -> Ist das hier ein Widerspruch?
0+b=3

Meine Frage hierzu nun: Liegt in Gleichung II ein Widerspruch vor, aus dem folgt, dass das LGS keine Lösung hat?

2.)
7a-5b=9
11a+3b=25
3a-7b=-1

Hier habe ich Gleichung I mit 11, und Gleichung II mit (-7) multipliziert und diese dann addiert. Dann habe ich Gleichung I mit 3 multipliziert und zu Gleichung III addiert:

7a-5b=9
-76b=-76
64b=20

Ich würde jetzt sagen, dass hier wieder ein Widerspruch vorliegt, da es 2 Lösungen für b gibt. Das würde heißen, dass das LGS keine Lösung hat..

Ich bin mir allerdings sehr unsicher, ob ich nicht doch irgendwo einen Rechenfehler habe.. Wenn mir also noch mal jemand helfen könnte, würde ich mich sehr freuen ^^

Lg
M_Hammer_Kruse
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 6982
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2007 - 23:10:52    Titel:

Hallo Skully,

Du hast Dich zwar ganz zum Schluß verrechnet (bei der Gleichung mit 64b), aber in der Tendenz bleibt Deine Feststellung richtig: Beide Gleichungssysteme enthalten Gelichungen, die sich widersprechen.

Das ist nichts Schlimmes, es heißt nur, daß die Lösungsmenge leer ist: Es gibt keine Werte von a und b, die dieses Gleichungssystem erfüllen.

Damit hast Du gewissermaßen das Gegenteil Deiner ersten Aufgabe. Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten können genau eine Lösung haben. Es können aber auch unendlich viele Lösungen (erste Aufgabe) oder gar keine (wie hier) sein.

Gruß, mike
mathefan
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8791

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2007 - 23:18:22    Titel:

Zitat:

1.)
I) -x+3y=0
II) 2x-6y=1
III) x+y=3

drei Geraden in der Ebene
I und II sind parallel -> haben also keinen Punkt gemeinsam -> keine Lösung
I und II
und II und III
haben jeweils eine Lösung (einen Schnittpunkt)
aber diese Punkte sind voneinander verschieden.
Schlussfolgerung:
es gibt kein Zahlenpaar (a,b) das alle deine drei Gleichungen erfüllen würde.

Zitat:

2.)
7x-5y=9
11x+3y=25
3x-7y=-1

analog zu überlegen:
in diesem Fall haben die drei Geraden aber einen gemeinsamen Punkt...
(a,b) = (2/1) erfüllt also alle drei deiner Gleichungen... Smile


...
PS: du wirst gleich sehen, dass M_Hammer_Kruse seine Behauptung :
Zitat:
Beide Gleichungssysteme enthalten Gelichungen, die sich widersprechen.

widerrufen wird... Smile
M_Hammer_Kruse
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 6982
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2007 - 23:35:41    Titel:

mathefan hat folgendes geschrieben:
PS: du wirst gleich sehen, dass M_Hammer_Kruse seine Behauptung :
Zitat:
Zitat:
Beide Gleichungssysteme enthalten Gelichungen, die sich widersprechen.


widerrufen wird... Smile


Recht hast Du. Man soll sowas kurz vor Mitternacht mehr im Kopf rechnen.

Gruß, mike
Skully
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 04.05.2007
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2007 - 00:37:00    Titel:

ok, auch hier noch einmal vielen Dank für eure Mühe ^^

Das ist mir ja jetzt schon beinahe richtig peinlich, aber ich habe noch eine Frage (wieder bei einer anderen Aufgabe):

Für welchen Wert des Parameters r hat das Gleichungssystem keine Lösung, genau eine Lösung, unendlich viele Lösungen?

a+r*b=5
2a+3b=4

Den ersten Schritt den ich jetzt eigentlich machen wollte, ist Gleichung I mit (-2) zu multiplizieren, daraus würed folgen:
3b=4
b=1 1/3

aber.. was bringt mir das in Bezug auf r? Ich glaub, hier habe ich jetzt leider nicht mal einen vernünftigen Ansatz zu bieten..

Wenn mir auch hier jemand helfen könnte, würd ich mich echt freuen ^^

Lg
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> LGS mit unendlich vielen Lösungen
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu Seite 1, 2, 3  Weiter
Seite 1 von 3

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum