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Nullstellen modulo p
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anncharlot
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Anmeldungsdatum: 10.07.2007
Beiträge: 68
Wohnort: Jena

BeitragVerfasst am: 17 Jul 2007 - 10:04:32    Titel: Nullstellen modulo p

Kann mir jemand sagen warum x² + 1 modulo p (Primzahl) nur eine Nullstelle haben soll wenn p kongruent zu 1 modulo 4 sein soll?
Müsse die denn nicht auch gelten für p kiongruent 3 modulo 4?

ac
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 17 Jul 2007 - 10:07:26    Titel:

Schau dir mal den ersten Ergänzungssatz des quadratischen Reziprozitätsgesetz an...

Übrigens hat die Gleichung zwei versch. (einander entgegengesetzte Lösungen) für p kongruent 1 modulo 4. Smile


Cyrix
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 17 Jul 2007 - 10:13:18    Titel:

Oder mit ein wenig Gruppentheorie:

Wir wissen, dass die multiplikative Gruppe der von 0 versch. Restklassen modulo p eine zyklische Gruppe der Ordnung p-1 bilden. Also gilt für jede solche Restklasse r, dass r^(p-1) == 1 (mod p) gilt. (Satz von Euler-Fermat)

Sei nun (-1) ein Quadrat modulo p, d.h. es gibt ein x, sodass x^2==(-1) (mod p). Potenzieren wir die Gleichung mit (p-1)/2, so erhalten wir:

x^(p-1)==(-1)^([p-1]/2) (mod p).


Und fertig kannst du dies allein denken. Smile


Cyrix
anncharlot
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Anmeldungsdatum: 10.07.2007
Beiträge: 68
Wohnort: Jena

BeitragVerfasst am: 17 Jul 2007 - 10:34:21    Titel:

okay damit ist es klar geworden.
danke ac
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