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ordnung eines elements
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goe.alexander
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Anmeldungsdatum: 21.05.2007
Beiträge: 262

BeitragVerfasst am: 17 Jul 2007 - 23:13:05    Titel: ordnung eines elements

kann mir jemand erklären, warum in einer zyklischen gruppe G ( G={g^k : k element N} ) modulo n ein element g^k genau dann die ordnung n hat wenn ggT(k,n) = 1 ist.
gru alex
goe.alexander
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Anmeldungsdatum: 21.05.2007
Beiträge: 262

BeitragVerfasst am: 17 Jul 2007 - 23:24:55    Titel:

stimmt dei formel die ich gefunden habe?
ord(g) = n / ggT(n,k)
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 17 Jul 2007 - 23:47:50    Titel:

ja, passt.

Cyrix
goe.alexander
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Anmeldungsdatum: 21.05.2007
Beiträge: 262

BeitragVerfasst am: 18 Jul 2007 - 00:10:18    Titel:

versuch grad alles unter einen hut zu bringen,
bei: ord(g) = n / ggT(n,k)
ist n doch z.B. bei Z mod 7 gleich 7 oder?
wenn ja, müsst dann nicht bei einer zyklischen gruppe modulo einer primzahl die ornung jedes elementes gleich eben der primzahl sein?

Beispiel: Z mod 7 die ordnung von 2´ müsste 3 sein, denn 2*2*2=8==1 mod 7.

wie kann ich jetzt die ordnung mit der formel bestimmen Question
MothersLittleHelper
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Anmeldungsdatum: 01.04.2007
Beiträge: 2501

BeitragVerfasst am: 18 Jul 2007 - 01:42:11    Titel:

Ich kenn mich mit dem Thema nicht aus.
Aber ich hab mal etwas im Internet gestöbert:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gruppentheorie-Glossar

Die multiplikative Gruppe von Z/7Z enthält 6 Elemente
Z/7Z = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Es ist eine endliche Gruppe, daher ist die Ordnung n = 6
gleich der Anzahl der Element der Gruppe.

Z/7Z ist eine zyklische Gruppe, denn sie lässt sich z.B. durch Potenzen von 3 erzeugen:
3^1 = 3; 3 hat bzgl. 3 die Kennung k = 1
3^2 = 2; 2 hat bzgl. 3 die Kennung k = 2
3^3 = 6; 6 hat bzgl. 3 die Kennung k = 3
3^4 = 4; 4 hat bzgl. 3 die Kennung k = 4
3^5 = 5; 5 hat bzgl. 3 die Kennung k = 5
3^6 = 1; 1 hat bzgl. 3 die Kennung k = 6

So die Ordnung n' der einzeln Elemente aus Z/7
1^1 = 1 => Odnung n' = 1
2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 1 => Ordnung n' = 3
3^1 = 3, 3^2 = 2, 3^3 = 6, 3^4 = 4, 3^5 = 5, 3^6 = 1 => Ordnung n' = 6
4^1 = 4, 4^2 = 2, 4^3 = 1 => Ordnung n' = 3
5^1 = 5, 5^2 = 4, 5^3 = 6, 5^4 = 2, 5^5 = 3, 5^6 = 1 => Ordnung n' = 6
6^1 = 6, 6^2 = 1 => Ordnung n' = 2

Jetzt kann die Gleichung n' = ord(x) = n/ggt(n,k), falls x = g^k, überprüft werden.
1 : n = 6, k = 6, ggt(n,k) = 6 => 1 = n' = n/ggt(n,k) = 6/6
2 : n = 6, k = 2, ggt(n,k) = 2 => 3 = n' = n/ggt(n,k) = 6/2
3 : n = 6, k = 1, ggt(n,k) = 1 => 6 = n' = n/ggt(n,k) = 6/1
4 : n = 6, k = 4, ggt(n,k) = 2 => 3 = n' = n/ggt(n,k) = 6/2
5 : n = 6, k = 5, ggt(n,k) = 1 => 6 = n' = n/ggt(n,k) = 6/1
6 : n = 6, k = 3, ggt(n,k) = 3 => 2 = n' = n/ggt(n,k) = 6/3

Die Formel passt.
Ich hoffe, ich konnte dir mit dem durchgerechneten Beispiel helfen.
goe.alexander
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Anmeldungsdatum: 21.05.2007
Beiträge: 262

BeitragVerfasst am: 18 Jul 2007 - 10:07:45    Titel:

gracias por todo

gruß alex
erde
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Anmeldungsdatum: 07.11.2009
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2009 - 13:03:35    Titel:

ich habe es nicht so gut verstanden. Warum ist 3³ = 6 und nicht 27?
Na gut 27 ist nicht in der Gruppe, aber warum dann 6 und nicht 4 oder 5 oder sonst was?
Kann mir jemand das erklären?
Danke.
Jizzer
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Anmeldungsdatum: 04.09.2009
Beiträge: 590

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2009 - 23:08:13    Titel:

mod 7 ?
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