Partialbruchzerlegung

Mudfreak · Junior Member Anmeldungsdatum: 10.05.2007 Beiträge: 13

Guten Tag

Ich hab mal wieder eine glaub ich leichte Frage für euch. Und zwar gehts diesmal um Partialbruchzerlegung. Und zwar steht in meinem Script: deg(g) > deg(h), macht man zuerst eine Polynomdivision. Anschliessend steht folgendes da.: g(x) = q(x) · h(x) + r (x). Im nächsten Schritt berechnet man die Partialbruchzerlegung von r (x)/h(x).
Nur bin ich mir nicht sicher was nun q(x) · h(x) + r (x). Machen wir ein Beispiel:
Angenommen ich mach ne Polynomdivision wo folgendes rauskommt: x²+ (x-2)/x²

Was ist nun das q,h,r?

Ich weiss dass es idiotisch ist. Shocked

Mit freundlichen Grüssen
Muddy

wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

Ich denke gemeint ist:

f(x) = g(x) / h(x) ist die gegebene Funktion

deg(g) > deg(h) bedeutet Zählergrad grösser Nennergrad

g(x) = q(x) · h(x) + r (x)

bedeutet es lässt sich aus dem Zählerpolynom etwas "abspalten" das nenn wir dann q(x)
und es bleibt ein Rest r(x) = s(x) / h(x) bei dem dann deg(s) < deg(h)

In Deinem Beispiel wäre das:
g(x) = x² + (x-2)/x²
dann ist q(x) = 1 und r(x) = (x-2)/x² wobei s(x) = (x-2) und h(x) = x²

EDIT: war ein kleiner Tippfehler drin
_________________
Nur wer fragt dem wird geholfen
α β γ δ λ π σ φ √ ∫ Σ ∏ ∂ ∈ ∉ ≈ ≠ ∞ ± ≤ ≥ ⇐ ⇒ ⇔

MothersLittleHelper · Senior Member Anmeldungsdatum: 01.04.2007 Beiträge: 2501

@Mudfreak
Hast du schon mal Google befragt?
http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung
http://www.bandlows.de/uni/pbz.htm

Oder guck mal im folgenden Thread bei matheplanet
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=5906&start=0#p30616
und da insbesondere die Beiträge von N-man

-------------------------------
Dein Beispiel ist schlecht gewählt, denn im Prinzip lautet deine Aufgabe:

Bilden Sie die Partialbruchzerlegung von: (x^4 + x - 2)/x²

In diesem Beispiel sind:
g(x) = x^4 + x - 2
h(x) = x²
Jetzt machst du die Polynomdivision:
g(x)/h(x) = (x^4 + x - 2)/x² = x² + (x-2)/x²
Der Teil im Ergebnis ohne Nenner ist q(x); von dem Teil im Ergebnis mit Nenner ist der Zähler r(x):
q(x) = x²
r(x) = x - 2

Von diesem "Rest mit Nenner" im Ergebnis wird die Partialbruchzerlegung gemacht.
In deinem Fall heisst das aber mit Kanonen auf Spatzen schießen, da eine einfache Division sofort zum Ergebnis führt:
(x-2)/x² = x/x² - 2/x² = 1/x - 2/x²

Wenn du die Technik an sinnvolleren Beispielen vorgeführt bekommen willst, dann schau unter den oben angeführten Verweisen nach.

hallo123 · Senior Member Anmeldungsdatum: 12.12.2005 Beiträge: 1900

someDay · Senior Member Anmeldungsdatum: 04.09.2005 Beiträge: 3889

Das hat wenig mit Partizipialbruechen zu tun, das ist schlicht die Aussage das F[X] ein euklidischer Ring ist, mit deg : F[X] -> |N_0 als euklidische Funktion.

sD.

Mudfreak · Junior Member Anmeldungsdatum: 10.05.2007 Beiträge: 13

Ok Super Danke!
Habs einigermaßen verstanden. Nun hab ich bei meiner Aufgabe(ist nicht die die im Eingangsthread erwähnt wurde) eine normale Polynomdivision gemacht wo nun x + (x-3)/(x²-4x+4) rauskommt. Nun muss ich doch bei dem Restbruch ne Partialbruchzerlegung machen. Geht das überhaupt? Den Nenner kann ich ja in (x-2)² umschreiben. Ich hab da nun aber nur einen Bruchterm und kanns nicht weiter zerlegen. Geht das wirklich nich oder steh ich dermaßen aufm Schlauch?

Mit freundlichen Grüssen
Muddy

MothersLittleHelper · Senior Member Anmeldungsdatum: 01.04.2007 Beiträge: 2501

2 ist zweifache Nullstelle des Nennerpolynoms.

=> Ansatz für die Partialbrchzerlegung:
(x-3)/(x-2)² = A/(x-2) + B/(x-2)²
<=> (x-3)/(x-2)² = [ A*(x-2) + B ]/(x-2)²
<=> (x-3)/(x-2)² = [ A*x + (B -2A) ]/(x-2)²
=> Koeffizientenvergleich:
A = 1
B- 2A = -3
=> A = 1, B = -1

Ergebnis:
(x-3)/(x-2)² = 1/(x-2) - 1/(x-2)²

Mudfreak · Junior Member Anmeldungsdatum: 10.05.2007 Beiträge: 13

Danke für deinen Beitrag. Was ich jedoch nicht verstehe wieso du einmal im Nenner x-2 schreibst und dann (x-2)². Das ist mir jetzt nicht klar.
Diese Zeile mein ich: (x-3)/(x-2)² = A/(x-2) + B/(x-2)²

Kannste das näher erläutern? Normal soll doch (x-2)² zerlegt werden oder?

Mit freundlichen Grüssen
Muddy

MothersLittleHelper · Senior Member Anmeldungsdatum: 01.04.2007 Beiträge: 2501

(x-2)² ist kein Bruch. Der Term ist der Nenner eines Bruchs.
Die Partialbruchzerlegung bezieht sich auf den Bruch.

Die Partialbruchzerlegung dient u.a. dazu,
den Bruch (x-3)/(x-2)² in eine Summe von (Teil-)Brüchen, daher der Name, zu zerlegen, für die man besonders einfach Stammfunktionen angeben kann.

int( (x-3)/(x-2)² )dx = int( 1/(x-2) - 1/(x-2)² ) dx = ln(x-2) + 1/(x-2) + c

Über die Ansätze zu Partialbruchzerlegung kannst du dich unter den Verweisen meines ersten Beitrags informieren.

Mudfreak · Junior Member Anmeldungsdatum: 10.05.2007 Beiträge: 13

Das ist mir schon klar. Hast mich wahrscheinlich nicht richtig verstanden. Wenn man Partialbruchzerlegung machen will muss man ja erst den Nenner Term in seine Linearfaktoren zerlegen oder? Und diese Linearfaktoren stellen jeweils einen Nenner der einzelnen Brüche dar!

Wenn du nun bei diesem Bruch (x-3)/(x-2)² Partialbruchzerlegung machen willst muss man ja (x-2)² in seine Linearfaktoren zerlegen. Nur versteh ich nicht wieso du diesen Term in die Faktoren (x-2) *(x-2)² zerlegst. Das wäre für mich eher ohne Quadrat!?!

hallo123 · Senior Member Anmeldungsdatum: 12.12.2005 Beiträge: 1900

Das Quadrat stimmt schon. Du kannst ja einmal widerlegen, dass es ohne Quadrat geht. Wink

Mfg

Mudfreak · Junior Member Anmeldungsdatum: 10.05.2007 Beiträge: 13

Weil (x-2)*(x-2)² scho ne Potenz mit dem Grad 3 ergibt....und es soll doch (x-2)² rauskommen oder nicht? Helft mir bitte ich schreib morgen die Klausur Rolling Eyes

Ihr wollt mir klar machen dass die Linearfaktorzerlegung von (x-2)² = (x-2)*(x-2)² ist??!?!?!?!?

MothersLittleHelper · Senior Member Anmeldungsdatum: 01.04.2007 Beiträge: 2501

Du willst nicht (x²-4x-4) = (x-2)² in Linearfaktoren zerlegen.
(Das ist nur ein Zwischenschritt.)
Du willst den Bruch (x-3)/(x-2)² als
Linearkombination anderer Brüche darstellen,
- deren Zähler 1 ist und
- in deren Nenner der Term des Linearfaktors (x-2) deines Originalnenners auftaucht.

Du betrachtest den Vektorraume V der Brüche mit dem Nenner (x-2)², deren Zählergrad mindestens um 1 geringer ist als der Grad des Nenners.
In diesem Fall darf der Grad des Zählers also höchstens 1 sein.

V = { (ax + b)/(x-2)² | a, b reelle Zahlen }

Jetzt brauchst du für deinen Vektorraum eine Basis { v1, v2 }, damit du jeden Vektor (jede Funktion) aus V als Linearkombination von v1 und v2 darstellen kannst.

Erster Kandidat für einen Basisvektor ist: v2 = 1/(x-2)²
Der allein reicht nicht, denn zum Beispiel v = x/(x-2)² ist kein reelles Vielfaches von v2.
Den geeigneten Kandidaten für den zweiten Basisvektor v1 findest du in: v1 = (x-2)/(x-2)² = 1/(x-2)
[Du merkst, ich habe die Indizes nach Exponent im Nenner gewählt.]

V wird durch die beiden Basisvektoren (Basisfunktionen): v1 = 1/(x-2) und v2 = 1/(x-2)² erzeugt!

Nachweis:
(ax+b)/(x-2)² = A * v1 + B * v2 = A/(x-2) + B/(x-2)² = [A*(x-2) + B]/(x-2)²
=> (Koeffizientenvergleich)
a = A und b = -2A + B
=> A = a und B = b+2a

Ergebnis:
Die geeigneten Brüche, um (x-3)/(x-2)² als Linearkombination von (Partial-)Brüchen darstellen zu können,
sind 1/(x-2) und 1/(x-2)²

Mudfreak · Junior Member Anmeldungsdatum: 10.05.2007 Beiträge: 13

Ok. Vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Mal schaun was morgen rauskommt! Shocked