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Rechenhllfe bei Determinante erbeten :)
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Rechenhllfe bei Determinante erbeten :)
 
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TimWischmeier
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Anmeldungsdatum: 07.11.2004
Beiträge: 70

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2005 - 19:42:38    Titel: Rechenhllfe bei Determinante erbeten :)

Nen wunderschönen Abend z'sammen,

also, im Prinzip geht es darum, das char. Polynom auszurechnen:

sei also A = ([5, -2, 2], [18, -7, 6], [6, -2, 1])
die zu diagonalisierende Matrix. Dann ist
P_a = det(t*E_3 - A)
= det([t-5, 2, -2], [-18, t+7, -6], [-6, 2, t-1])

Meine Frage jetzt: wie krieg ich die Determinante raus?

Ich meine, ich könnte sie ja z.B. nach einer Zeile entwickeln. Das wäre aber sehr umstädnlich, fehleranfällig und zeitaufwändig und obendrein wärs dann noch schwer, nachher die Nullstellen zu finden.

Im Hinblick auf die Klausur, wo so eine Aufgabe unter Garantie vorkommen wird, habe ich mir überlegt, diese Matrix einfach auf Dreicksform zu bringen, um dann die Einträge in der diagonalen einfach als Nullstelle zu haben (weil die Determinante einer Dreiecksmatrix ist ja einfach alle Einträge der Diagonalen miteinander multipliziert). Aber ich weiß dann nicht so recht, wie ich da rein rechentechnisch vorgehen soll. Wäre vielleicht jemand so nett, mir den Anfang/Weg zu zeigen? Den Rest kann ich dann ja selbst!

Vielen Dank,
MfG, Tim


Zuletzt bearbeitet von TimWischmeier am 26 Jan 2005 - 20:49:22, insgesamt einmal bearbeitet
Mortimer
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Anmeldungsdatum: 12.01.2005
Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2005 - 20:12:42    Titel:

Eine 3x3 Determinate lässt sich ganz bequem mit der Sarrus'schen Regel ausrechnen:

A = ([a1, a2, a3], [b1, b2, b3], [c1, c2, c3])
= a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 - a1b3c2 - a2b1c3 - a3b2c1

Das sieht jetzt komplizierter aus, als es ist. Du musst einfach alle Diagonalenelemente mit einander multiplizieren, die von linksoben nach rechtsunten werden addiert, von rechtsoben nach linksunten werden subtrahiert.
Am besten Malst du dir das kurz auf, dabei ist auch hilfreich, die Determinante zweimal neben einander zu schreiben, so dass man die Diagonalen richtig durchzeichnen kann.

mfg mortimer
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2005 - 20:13:32    Titel:

Hallo TimWischmeier,

ich würde mit der Methode "nach einer Zeile/Spalte" entwickeln arbeiten, das ist recht einfach, sollte keine Fehler provozieren und für die Nullstellenberechnung hilft es sowieso nicht.

MfG Mirona
TimWischmeier
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Anmeldungsdatum: 07.11.2004
Beiträge: 70

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2005 - 20:47:21    Titel:

Danke soweit für die Antworten. Aber mir behagt es irgendwie so gar nicht, dass ich nachher auf eine Summe rauskomme, ob nun mit Entwicklung nach Spalten oder der Sarrus'schen Regel. Denn ich muss ja danach die Nullstellen bestimmen, und wenn die nicht ersichtlich sind, ist das bei Polynomen der 3. (4.) Potenz nicht ganz trivial, denke ich...

Daher hätte ich lieber so eine Form (Zahlen zufällig ausgedacht:)
P_a = det([t-1, 2, 3], [0, t-2, 4], [0, 0, t-3])

denn dann wäre P_a = (t-1) * (t-2) * (t-3)
und da sind die Nullstellen so einfach abzulesen. Aber ich sehe nicht, wie ich auf diese Dreicksform komme Smile.
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2005 - 20:53:38    Titel:

Also ich wüsste eine Möglichkeit auf so eine Dreiecksform zu kommen :
charakteristisches Polynom bilden, Nullstellen bestimmen, Dreiecksmatrix definieren.

MfG Mirona
TimWischmeier
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Anmeldungsdatum: 07.11.2004
Beiträge: 70

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2005 - 20:57:52    Titel:

Mirona hat folgendes geschrieben:
Also ich wüsste eine Möglichkeit auf so eine Dreiecksform zu kommen :
charakteristisches Polynom bilden, Nullstellen bestimmen, Dreiecksmatrix definieren.

MfG Mirona


Question häh? Aber ich will doch gerade die Nullstellen mit Weg über Dreicksmatrix finden, andersherum ist es doch witzlos Exclamation
Mortimer
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Anmeldungsdatum: 12.01.2005
Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2005 - 21:00:48    Titel:

Tut mir leid,
aber wie man im Allgemeinen auf so eine nützliche Form kommt kann ich dir leider auch nich sagen. Und ich glaube eigentlich auch nicht, dass es eine einfachere Möglichkeit, als das lösen mit der Sarrus'schen Regel gibt, zumal die Aufgaben in der Klausur bestimmt so gestellt werden, das zumindest eine Lösung des entsehenden Polynoms 3. Grades relativ leicht zu finden ist, und dann kann man ja polynomdividieren...
Es mag natürlich spezielle Fälle geben, in denen man mit deiner Methode sehr schnell und einfach die Nullstellen berechnen kann, aber fürs Allgemeine??

mfg mortimer
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2005 - 21:06:12    Titel:

Also das charakteristische Polynom dient doch gerade dafür, für eine gegebene Matrix eine Diagonal- oder wenigstens Dreiecksmatrix (oder auch weitere Normalformen) zu finden, welche noch gewisse Eigenschaften mit der Ausgangsmatrix teilen. Andersherum ist es witzlos. Laughing

MfG Mirona
TimWischmeier
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Anmeldungsdatum: 07.11.2004
Beiträge: 70

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2005 - 21:20:43    Titel:

Neeein, das meine ich nicht. wenn ich die Determinante einer Matrix berechne, dann kann ich die Matrix unter betimmten Punkten umformen, ähnlich dem Gauss-Algo, die Determinante wechselt dabei u.U. ihr VZ oder ihren Vorfaktor. wenn ich aber irgendwann a*det(Matrix) hab und Matrix ist in Dreicksform und m_1, m_2, m_3 seien die Einträge der Diagonale, dann ist P_a = a* (m_1 * m_2 * m_3).
Somit hätte ich dann einfachst die Nullstellen bestimmt. Bin leider ratlos, auf welche Art ich die Umformungen anfange. Oder anders formuleirt: wer kann diese Matrix A mit Gauss auf Dreiecksform bringen?
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2005 - 21:25:03    Titel:

Die Matrix kann doch mit dem Gauss-Algorithmus auf Dreiecksgestalt gebracht werden.
Einfach darauf los rechnen.

MfG Mirona
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