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Rechenhllfe bei Determinante erbeten :)
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Rechenhllfe bei Determinante erbeten :)
 
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TimWischmeier
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Anmeldungsdatum: 07.11.2004
Beiträge: 70

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2005 - 21:25:50    Titel:

Naja, ich kriegs net hin Embarassed ... Wink
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2005 - 21:32:15    Titel:

Hm, halt mit den rationalen Polynomen wie mit normalen Zahlen "umgehen" , und schon funktioniert das.

MfG Mirona
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2005 - 22:04:56    Titel:

Na so einfach ist das nun auch wieder nicht. Du bekommst einen Baum mit Fallunterscheidungen, wobei die Case-Constraints deine parametrischen Koef. in einer semidistributiven Darstellung des (multivariaten) Polynoms nach den Vektorvariablen von x in Ax sind.

Ausserdem ist bei Gauss und Diagonalisieren folgendes zu beachten: Gauss liefert eine Diagonalform der Form

A = B C D,

wobei B und D nicht unbedingt inverse voneinander sind. Beim Diagonalisieren geht man aber meistens von der selben Basis der Raumes. Also:

A = B C B^(-1)

oder so.

Poste mal eine konkrete Aufgabe. Hoffe habe jetzt keinen Mist gelabert. Aber das klärt sich doch gleich Smile
TimWischmeier
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Anmeldungsdatum: 07.11.2004
Beiträge: 70

BeitragVerfasst am: 26 Jan 2005 - 23:21:45    Titel:

Hm, bin ein wenig verwirrt von deinem Post, algebrafreak, aber das macht nichts Smile. Die Aufgabe stand schon oben:

sei also A = ([5, -2, 2], [18, -7, 6], [6, -2, 1])
die zu diagonalisierende Matrix. Also eine 3x3 Matrix, ich habe die Spalten mal in rechteckigen Klammern geschrieben.

Dann ist P_a = det(t*E_3 - A)
= det([t-5, 2, -2], [-18, t+7, -6], [-6, 2, t-1])
das charakteristische Polynom.
Dessen Nullstellen sind dann die Eigenwerte, mit denen man die Basen der Eigenräume errechnen kann. Daraus baut man dann die in meinem Fall geforderte Matrix S mit
SAS^-1 = diagonalmatrix.
Knackpunkt: Berechnen der Nullstellen. Wäre deutlich einfacher, wenn man nur die Determinante von einer Dreicksmatrix bestimmen müsste, dann würde P_a ja in "Nullstellen-Faktoren" zerfallen.
Also: wie reduzier ich (t*E_3 - A) mit Gauss auf Dreicksmatrix? Ist ja eigentlich "simples" Rechnen, aber die Unbestimmte t stößt mir sauer auf, damit fällt es mir schwer zu rechnen.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 27 Jan 2005 - 01:41:59    Titel:

Du willst die folgende Matrix in Diagonalform mit Hilfe von Gauss bringen:

A =
[t-5, 2, -2]
[-18, t+7, -6]
[-6, 2, t-1]

D.h. der erste (ganz formale) Schritt wäre A11 normieren. Das geht nur dann, wenn t-5 <> 0 ist. Das ist die erste Fallunterscheidung.

Fall 1.0 t = 5, dann deine Matrix

A' =
[0,2,-2]
[-18,12,-6]
[-6,2,4]

Darauf kannst Du Gauss anwenden usw. Ergebnis:

D' =
[1, -2/3, 1/3]
[0, 1,-1]
[0,0,1]

det(D') = 1 => det(A') <> 0

Fall 1.1 t <> 5. Dann besitzt t-5 in R eine inverse.

A'' =
[1, 2/(t-5), -2/(t-5)]
[-18, t+7, -6]
[-6, 2, t-1]

Damit kannst du die erste Spalte unter der 1 eliminieren:

A''' =
[1,2/(t-5),-2/(t-5)]
[0,(t^2+2*t+1)/(t+1),(-6t-6)/(t-5)]
[0,(2*t+2)/(t-5),(t^2-6*t-7)/(t-5)]

Jetzt der nächste Schritt: normieren von A'''_22

Fall 1.1.0: t^2+2*t+1 = 0 <=> t = -1

A'''' =
[1, -1/3, 1/3]
[-18, 6, -6]
[-6, 2, -2]

(normiert bei 11). Hat auch eine Darstellung:

D'' =
[1,-1/3,1/3]
[0,0,0]
[0,0,0]

det(D'') = 0 => det(A'''') = 0. Erste Nullstelle für t = -1.

Fall 1.1.1: t <> -1 und t <> 5

Nach elimination der zweiten Spalte:

A'''' =
[1,2/(t-5),-2/(t-5)]
[0,1,-6/(t+1)]
[0,0,t-1]

Fall 1.1.1.0 t = 1

A''''' =
[-4,2,-2]
[-18,8,-6]
[-6,2,0]

Ergebnis von Gauss:

[-1,-1/2,1/2]
[0,1,-3]
[0,0,0]

Also eine Nullstelle bei t = 1

Fall 1.1.1.0 t <> -1 und t <> 5 und t<> 1

Die Diagonalgestalt

[1,2/(t-5),-2/(t-5)]
[0,1,-6/(t+1)]
[0,0,1/(t-1)]

Keine Nullstellen!

ZUSAMMENFASSUNG:

Eine einzige reelle Nullstelle bei t = -1 und bei t = 1

Prüfen durch rechnen:

det([t-5, 2, -2], [-18, t+7, -6], [-6, 2, t-1]) =
t^3 + t^2 - t -1

Nullstellen bei 1 und -1

Alles richtig.

So jetzt zur Analyse von dem Scheiss:

Wenn man das so machen will MUSS man Nullstellen von Polynomen höheren Grades trotztem berechnen. Man kann sich vorstellen, dass bei einer grösseren Matrix die Reduktion mindestens auf ein Grad zurückgeht! Also bei 6x6 muss man unter Umständen Nullstellen vom Grad 5 ausrechnen!

D.h. Verfahren ist für die Praxis nicht verwendbar.

P.S: Ich weiss, es gibt diesen bekannten Komplexitätsbeweis, wo gezeigt wird, dass sich die Faktoren wegkürzen. Der ist aber hier, so glaube ich, nicht nützlich, da man gerade gesehen hat: Grad 3 wurde auf Grad 2 zurückgeführt. So wird sich sicher leicht ein BSP für Grad 6 finden lassen.

P.P.S: Die Zwischenschritte kannst Du dir anschauen, wenn Du REDUCE hast hier:

http://www.fmi.uni-passau.de/~lasaruk/ela.html

Vielleicht finde ich Zeit und programmiere das nochmal rein (zur Zeit ist nur unconstrained ohne Fallunterscheidungen Gauss)
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2005 - 13:58:23    Titel:

Also ich bin davon ausgegangen, das "nur" eine "passene" Matrix mit Dreiecksgestalt gesucht wird, das muss nicht notwendig auch "die" gesuchte Matrix wie beim "normalen" Trigonalisieren sein.

Und die Methode des "Drauflosrechnens" (also so tun also ob die Matrixeinträge Zahlen wären) funktioniert (zumindest solange der Grundkörper unendlich viele Elemente enthält, sonst müsste man sich besondere Gedanken machen).

MfG Mirona
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 27 Jan 2005 - 17:30:38    Titel:

Zitat:
Und die Methode des "Drauflosrechnens" (also so tun also ob die Matrixeinträge Zahlen wären) funktioniert (zumindest solange der Grundkörper unendlich viele Elemente enthält, sonst müsste man sich besondere Gedanken machen).


Liegt daran, dass die Matrix eine sehr einfache Form hat. I.A. geht das effizient ohne Fallunterscheidungen nicht. Mach es mal damit:

A =
[a b]
[c d]

Deine einzige Möglichkeit ist meines Wissens wäre jedes Element der ersten Spalte bis auf das kgV mit a raufzupultiplizieren. Führt aber zu einer Gradexplosion bei Polynomen.

P.S. Kannst Du ein Beispiel machen für einen endlichen Körper mit "besonderen Gedanken".
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2005 - 18:23:33    Titel:

Hallo agebrafreak,

eine 2x2 Matrix zum rechnen ist ja richtig nett, weiss nur gerade nicht wofür die Variablen stehen sollen ( Zahlen, Polynome ?).

erster Schritt wäre die erste Zeile mit (-c/a) zu multiplizieren und zur zweiten zu addieren(a ungleich 0)

liefert [a b] [0 d-cb/a] (zeilenweise gelesen)

Und für die endlichen Körper gilt, das die formalen Polynome und polynomiale Abbildungen nicht miteinander identifiziert werden können : über einem Körper mit 2 Elementen wären 0 und x^2+x beides verschiedene Poynome, aber (bezüglich des Einsetzens für x) die gleiche Abbildung. Hier könnte es einen Unterschied machen, ob die Matrix bei der Definition vom charakeristischen Polynom als Matrix mit Zahlen und einer Variablen (in welche etwas eingesetzt wird) oder als Matrix mit Polynomen (welche zumeist Zahlen sind) "betrachtet" wird (genauer gesagt, erst wenn man mit der Matrix anfängt zu rechnen, zum Beispiel die Determinante).

MfG Mirona
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 27 Jan 2005 - 18:57:54    Titel:

Endlich mal was so richtig interessantes hier. Damit es nicht verlorengeht, wollte ich anmerken, das man mit Hilfe des ganzen ja irgendwie Determinanten bzw. dann die Nullstellen berechnen möchte.

Zitat:
eine 2x2 Matrix zum rechnen ist ja richtig nett, weiss nur gerade nicht wofür die Variablen stehen sollen ( Zahlen, Polynome ?).


Es ging ja um Polynome. Mit Zahlen ist es witzloß. I.A. kann man nicht annehmen, dass a <> 0 ist, da man es einfach nicht weiß oder weil es zu viel Zeit kostet die NS zu bestimmen oder die Matrix zu pivotisieren (und man kann hier ruhig an c b vektoren und d untermatrix beim rekursiven Gauss-Abstieg denken). D.h. entweder eine formale Fallunterscheidung (wie ich es oben gemacht habe) oder das hier:

[a b]
[c d]

~>

[kgv(a,c) b*c']
[kgv(a,c) d*a']

wobei c' und a' die Kofaktoren c' = a/ggT(a,c) und a' = c/ggT(a,c) sind.

~>

[a b]
[0 b*a' - d*c']

Das ist aber nichts, denn (im schlimmsten Fall sogar grad(b),grad(d) <=) grad(b*a' - d*c') <= max{grad(b)+grad(a'),grad(d) + grad(c')}.

Zitat:
Und für die endlichen Körper gilt, das die formalen Polynome und polynomiale Abbildungen nicht miteinander identifiziert werden können


I see. Man muss aber, soweit ich das überblicken kann, nie auf diesen Unterschied zurückgreifen, denn für die Nullstellensuche, wenn sie klappt, reichen lediglich die Eigenschaften der Abbildung aus. Den Rest kann man rein algebraisch machen durch Polynomreduktion.

Bin ich da im Unrecht? Kläre mich bitte auf. Ist sehr interessant, finde ich.
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2005 - 19:34:26    Titel:

So, also für das Rechnen über einem Körper mit unendlich vielen Elementen:

Der Witz ist ja gerade, da so eine Fallunterscheidung nicht nötig ist, man kann einfach so durch Polynome (ausser das Nullpolynom) dividieren ohne irgendwelche Nullstellen zu beacheten, am Ende, wenn das charakteristische Polynom bestimmt wird, "kürzen" sich die überflüssigen Nennerpolynome einfach raus.

Zur (kurzen) Begründung: Man weiss ja schon vorher das ein ganzes Polynom (nicht echt gebrochen-rational) herauskommt, also können bei Zwischenschritten ruhig rationale Polynome auftreten, irgendwann fallen die wieder raus. ( algebraisches Argument)

Oder eine spezielle Argumentation für die reellen Zahlen : Wenn man solche Nullstellen von Nennerpolynomen als "Ausnahmestellen" auffasst, so ergibt sich am Ende das charakteristische Polynom nur bis auf eine endliche Ausnahmemenge und aus Stetigkeit kann man es in den fehlenden Punkten geeignet fortsetzen ( analytische Argumentation)

Über endlichen Körpern funktioniert die Argumentation nicht : das algebraische Argument versagt weil es ein "zuviel" an zusätzlichen Relationen zwischen den Polynomen gibt, das analytische weil eine Behauptung, welche nur bis auf eine endliche Ausnahmemenge bewiesen wurde über einer endlichen Struktur nicht besonders zuverlässig ist.

Also

unendlicher Körper : algebraische Umformungen liefern das Ergebnis (ohne jede Fallunterscheidung)
endlicher Körper : algebraische Umformungen sind mit mehr Überlegung anzuwenden (dafür ist dann das Nullstellenbesimmen ein Kinderspiel im Gegensatz zu unendlichen Körpern)

MfG Mirona
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