Ableitung einer Kostenfunktion

phlo · Newbie Anmeldungsdatum: 14.07.2007 Beiträge: 43

Hallo,

kann folgende Aufgabe aus einem Lehrbuch nicht nachvollziehen.

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Jemand will einen PKW mieten, um die Strecke von Wuppertal nach Kielersfelden (Streckenlänge 700 km) zurück zu legen. Der Treibstoffverbrauch y (Liter / 100 km) hängt dabei von der Fahrgeschwindigkeit x (in km/h) gemäß folgender Formel ab:

y = f(x) = ( x / 10 ) - 3 + ( 240 / x )

a) Welche konstante Geschwindigkeit sollte gefahren werden, um den Treibstoffverbrauch zu minimieren ?

Lsg.:

f'(x) = 1/10 - ( 240 / x² )
f''(x) = ( 480 / x³ )

f'(x) = 0 setzen
x = 48,99 km / h

b) Der Mietpreis für den LKW beträgt 12 € / h sowie zusätzlich 50 € Grundgebühr. Der Treibstoff kostet 1,20 € / Liter. Weitere Kosten entstehen nicht. Stellen Sie eine Kostenfunktion für die Fahrt nach Kiefersfelden auf, in der die Fahrgeschwindigkeit x als unabhängige Variable auftritt.

Lsg.:

K(x) = 50 + 12 * ( 700 / x ) + ( [ x / 10 ] - 3 + [ 240 / x ] ) * 7 * 1,2
= ( 10416 / x ) + 0,84x + 24,8

c)

Welche Geschwindigkeit sollte gefahren werden, um die Kosten zu minimieren ?

angegebene Lsg.:

K(x) = ( 10416 / x ) + 0,84x + 24,8
K'(x) = ( - 10416 / x² ) + 0,84
K''(x) = ( 20432 / x³ )

Zitat aus dem Lehrbuch "Einzige positive Nullstelle ist x0 ~ 111,36.
Wegen K''(x) = ( 20432 / x0³ ) > 0 liegt dort ein lokales Minimum vor. Die Kosten werden also bei einer Geschw. von ca. 111,36 km/h minimiert."

Mein erstes Problem ist die 2te Ableitung. Müsste es nicht ( 20832 / x³ ) lauten ? Falls nein, warum nicht ?

Als einzige positive Nullstelle der Funktion K(x) ist in der Lösung
x = 111,36 angegeben. Das kann ich durch K(x) = 0 und anschließend nach x auflösen auch nicht nachvollziehen. Bekomme dort x = 102,06 bzw. einen negativen Wert unter einer Wurzel, was ja nicht erlaubt ist.

Danke für eure Meinungen und Tips !
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MothersLittleHelper · Senior Member Anmeldungsdatum: 01.04.2007 Beiträge: 2501

Dein Lösung für die zweite Ableitung K''(x) ist richtig.

111,36 = 20*sqrt(31) ist die positive Nullstelle der ersten Ableitung K'(x).
Du willst die minimalen Kosten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit ermitteln.
Die optimale Geschwindigkeit ist dann die positive Nullstelle der ersten Ableitung der Kostenfunktion.

Die Kostenfunktion besitzt keine reellen Nullstellen.
Die minimalen Kosten entstehen bei einer konstanten Reisegeschwindigkeit von v = 111,36 km/h und sie betragen dann 211.88 EUR.

phlo · Newbie Anmeldungsdatum: 14.07.2007 Beiträge: 43

wie kommst du auf 111,36 = 20 * sqrt(31) ?

Danke!
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MothersLittleHelper · Senior Member Anmeldungsdatum: 01.04.2007 Beiträge: 2501

( - 10416 / x² ) + 0,84 = 0
<=> ( - 10416 / x² ) + 21/25 = 0
<=> x² = 10416*25/21 = 496*25 = 16*31*25
<=> x = sqrt(16*31*25) oder x = -sqrt(16*31*25)
<=> x = 4*5*sqrt(31) oder x = -4*5*sqrt(31)
<=> x = 20*sqrt(31) oder x = -20*sqrt(31)
gerundet
x = 111,36 oder x = -111,36

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Edit: = 0 vergessen

phlo · Newbie Anmeldungsdatum: 14.07.2007 Beiträge: 43

OK danke !

Warum ist es an der Stelle

<=> ( - 10416 / x² ) + 21/25
<=> x² = 10416*25/21 = 496*25 = 16*31*25

ich wäre so vorgegangen:

<=> ( - 10416 / x² ) + 21/25 = 0 | * x²
<=> - 10416 + 21/25 = x²

Habe an der Stelle anscheinend ein Wissensdefizit ! Smile

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MothersLittleHelper · Senior Member Anmeldungsdatum: 01.04.2007 Beiträge: 2501

<=> ( - 10416 / x² ) + 21/25 = 0 | * x²
<=> - 10416 + 21/25 = x²

Die rot markierten Stellen sind falsch.
Richtig lautet es:
<=> ( - 10416 / x² ) + 21/25 = 0 | * x²
<=> - 10416 + (21/25)*x² = 0 ; denn 0*x² = 0
Jetzt das x² isolieren. Dazu zuerst die -10416 beseitigen.

<=> - 10416 + (21/25)*x² = 0 | + 10416
<=> (21/25)*x² = 10416 | : 21/25 oder * 25/21
<=> x² = 10416*25/21
...

phlo · Newbie Anmeldungsdatum: 14.07.2007 Beiträge: 43

super danke !
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