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Ableitungen-mal wieder
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Denis
Gast






BeitragVerfasst am: 29 März 2004 - 16:34:37    Titel: Ableitungen-mal wieder

Hi @ll!
Ich habe gerade gemerkt, dass ich seit der 11.Klasse immer falsch mit Ableitungen umgegangen bin, daher resultieren auch meine 3en in der 13 Rolling Eyes

selber herausbekommen habe ich, dass man
f(x)=k*g(x)
f(x)=k*g'(x) ist...
dann noch:
f(x)=e^2x
f'(x)=2e^2x ist..

jetzt frage ich mich aber (obwohl es nicht direkt mit Ableiten zu tun hat)
was ist:

e^x^2 , denn ich habe erfahren, dass das NICHT e^2x ergibt Confused

bzw.
f(x)=e^2x+m / 2e^x
und f''(x)=f(x) soll man beweisen
das schaffe ich aber nie, mein letztes Ergebnis war: 8e^5x+8e^2x / (8e^x)³

ach ja: wenn man bei der Quotientenregel der Ableitungen herausbekommt:
f(x)=(u/v)
f'(x)=.../v^2
f''(x)= .../ v^3 oder v^4 ????


ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Gruss
Denis
Denis
Gast






BeitragVerfasst am: 29 März 2004 - 17:11:44    Titel:

Frage #2:

Wie bestimme ich, ob 2 Vektoren linear unabhängig voneinander sind?
k1*rg + k2*rh = 0
in ein lin. Gleichungssystem einsetzen...

da bekomme ich z.B. heraus:

k1.......k2
-1.......a-2...............|0
2.........2a...............|0
0.........2a-(-2a-4)....|0

, d.h. [2a-(-2a-4)]*k2=0
und was muss ich jetzt weiter machen, um zu beweisen, dass die beiden Vektoren lin. unabhängig voneinander sind ?
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 29 März 2004 - 19:01:01    Titel:

Ableitung von e^(x^2) ist 2x e^(x^2)
Bei der Quotientenregel quadrierst du. (x^2)^2 ist x^4.
(x*x) * (x*x) = x*x*x*x

allerdings bringt es dir wohl wenig, sämtliche Fälle auswendig zu lernen, wenn du nicht weißt, was dahintersteckt. Zumindest soviel sollte dir klar sein:

1. Wenn du a x^n ableitest, ziehst du den Exponenten n als Faktor vor und erniedrigst ihn um 1. Also: n*a x^(n-1)

Beispiel:
Ableitung von
3 * x^5
ist
5*3 * x^(5-1) = 15 x^4

2. Wenn du eine Summe aus mehreren a x^n ableitest, gibt das ganze wieder eine Summe aus den einzelnen Ableitungen.

Beispiel:
Ableitung von
3 * x^5 + 2 * x^3
ist
3*5 x^4 + 2*3 x^2 = 15 x^4 + 6 x^2

3. Produktregel:
Funktion: f(x) * g(x)
Ableitung: f'(x) g(x) + f(x) g'(x)

4. Quotientenregel:
Funktion: f(x) / g(x)
Ableitung: (f'(x) g(x) - f(x) g'(x)) / (g(x))^2

5. Kettenregel
Funktion: f(g(x))
Ableitung: f'(g(x)) * g'(x)


Mit diesen 5 Regeln kannst du eigentlich alles ableiten.
Grundlage bei der nat. Exponentialfkt. ist die Kettenregel.

Wenn e^x deine äußere Funktion ist, dann ist die Ableitung ebenfalls e^x.

Wenn du jetzt aber nicht e^x hast, sondern e hoch irgendwas anderes, dann musst du die Ableitung der Äußeren Funktion mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren.

Beispiel 1:

f(x) = e^2x
Äußere Funktion: e^z
Innere Funktion: 2x

Die Ableitung der Äußeren funktion ist also e^z
Im Beispiel ist z = 2x, also die Ableitung e^2x

Das musst du jetzt mit der Ableitung der inneren Fkt. multiplizieren.
Ableitung von 2x ist 2. Also ist e^2x abgeleitet: e^2x * 2

Beispiel 2:

f(x) = e^(5x^3 + 7x^2 + 2x + 3)

Sieht kompliziert aus, funktioniert aber genauso wie oben:
Du musst einfach nur die Äußere Funktion ableiten. Da es sich um eine e-Funktion handelt, ändert sich dabei nix.
Dann multiplizierst du mit der Ableitung der inneren Funktion.

Diese innere Ableitung ist: 15 x^2 + 14 x + 2

Also ist die Ableitung insgesamt:
f'(x) = e^(5x^3 + 7x^2 + 2x + 3) * (15 x^2 + 14 x + 2)


Bei komplizierteren Funktionen leitest du einfach Schritt für Schritt von außen nach innen ab. Du setzt deine Funktion also immer aus Verschachtelungen, Produkten und Quotienten von Funktionen zusammen, die du einfach ableiten kannst.


Zu deiner zweiten Frage:

Da du noch ein a in deiner Lösung hast, hat dein LGS unendlich viele Lösungen. Die Vektoren sind Linear abhängig.
Damit die Vektoren linear unabhängig sind, darf es keine andere Lösung als k1 = k2 = 0 geben.

Viel einfacher ist aber bei zwei Vektoren, zu schauen ob beide vielfache voneinander sind. (dann sind sie linear ABHÄNGIG)
Dazu schaust du dir einfach die erste Koordinate an, schaust, mit was du multiplizieren muss, dass du auf den anderen Vektor kommst, und schaust dann, ob du so auch von den anderen Koordinaten auf den anderen Vektor kommst.

Beispiel:
a = (1 | -5 | 2) ; b = (-2 | 10 | -4)

um von 1 auf -2 zu kommen musst du mit -2 multiplizieren.
-5 * -2 ist 10, passt also.
2 * -2 ist -4, passt also auch.
=> a und b sind lin. ABHÄNGIG.

a = (1 | 2 | 3) ; b = (3 | 6 | 4 )

um von 1 auf 3 zu kommen: * 3
2 * 3 ist 6, passt.
3 * 3 ist 9, passt also nicht.
=> a und b sind lin. UNABHÄNGIG

noch einfacher ist z.B.
a = (1 | 2 | 3) ; b = (3 | 0 | 4)

von 2 wirst du niemals auf 0 kommen, ganz egal, womit du multiplizierst. (Außer mit 0, was aber nicht zulässig ist).
Gast







BeitragVerfasst am: 15 Jul 2004 - 10:54:54    Titel:

wie sieht es denn aus wenn noch ein Faktor vor der e-Funktion steht zb. 3^x^3*e^2x^2 ??
mhh...
Gast






BeitragVerfasst am: 18 Nov 2004 - 19:21:38    Titel:

genau, wie wird ft(x) = 1/ wurzel(x) * (t*x + 2*e^(1-t)) abgeleitet?
da wir doch der Exponent abgeleitet 0, oder??? und 0* 2*e^(1-t)= 0, oder???

mfg
mhh...
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