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komplizierte gleichung
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> komplizierte gleichung
 
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chris19
Gast






BeitragVerfasst am: 27 Jan 2005 - 15:29:46    Titel: komplizierte gleichung

Hallo zusammen,

kann mir vielleicht jemand beim lösen dieser gleichnung helfen?
habe keinen schimmer wie ich an x gelange!

2^log10x=3^lnx

Danke!
Gast







BeitragVerfasst am: 27 Jan 2005 - 21:20:40    Titel:

2^(log_10 x) = 3^lnx

2^0 = 3^0

log_10 x = lnx = 0

x = 1
hartwork
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Anmeldungsdatum: 21.06.2004
Beiträge: 109
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2005 - 21:38:32    Titel:

definition:
log[b](x): logaritmus von x zur basis b (mit b > 0)


0.
los geht's...

2^(log[10](x)) = 3^(ln(x))


1.
wir benutzen a^x = e^(ln(a^x)) = e^(x * ln(a)) analog
für basis 2 also a^x = 2^(log[2](a^x)) = 2^(x * log[2](a))

<=> 2^(log[10](x)) = 2^(ln(x) * log[2](3))


2.
die gleichung ist genau dann erfüllt, wenn die exponenten
gleich sind. wir können also vereinfachen zu

<=> log[10](x) = ln(x) * log[2](3)


3.
wir verwenden log[a](x) = ln(x)/ln(a):

<=> ln(x) / ln(10) = ln(x) * ln(3)/ln(2)
<=> ln(x) = ln(x) * ln(3)/ln(2) * ln(10)


4.
es folgt zwingend

<=> ln(x) = 0
<=> x = e^0

<=> x = 1
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2005 - 21:58:52    Titel:

2^log10x=3^lnx kann man umformen zu

3^([ln(10x)*ln(3)]/[ln(10)*ln(2)] = 3^ln(x) =>


ln(10x)*ln(2)
------------------ = ln(x) =>
ln(10)*ln(3)



ln(2)
----------------- * (ln(10) + ln(x)) = ln(x) => durch Umformung und ausrechnen
ln((3)*ln(10)


x = 2,3845

Hier ist das Bild der beiden Kurven dazu.




Gruß
Andromeda
chris19
Gast






BeitragVerfasst am: 27 Jan 2005 - 22:51:00    Titel:

Mmmh.... welches ist denn jetzt richtig x=1 oder x = 2,3845 ???

Habe eigentlich gedacht die gleichung so umzuformen:

e^ln(2)*log(10)x=e^ln(3)*lnx

also,

ln(2)*log(10)x=ln(3)*ln(x)

ln(2)*log(10)x/ln(3)=ln(x)

Komme dann aber nicht weiter!
Confused
Gast







BeitragVerfasst am: 27 Jan 2005 - 22:52:25    Titel:

Mmmh.... welches ist denn jetzt richtig x=1 oder x = 2,3845 ???

Habe eigentlich gedacht die gleichung so umzuformen:

e^ln(2)*log(10)x=e^ln(3)*lnx

also,

ln(2)*log(10)x=ln(3)*ln(x)

ln(2)*log(10)x/ln(3)=ln(x)

Komme dann aber nicht weiter!
Confused
Gast







BeitragVerfasst am: 27 Jan 2005 - 22:53:33    Titel:

Mmmh.... welches ist denn jetzt richtig x=1 oder x = 2,3845 ???

Habe eigentlich gedacht die gleichung so umzuformen:

e^ln(2)*log(10)x=e^ln(3)*lnx

also,

ln(2)*log(10)x=ln(3)*ln(x)

ln(2)*log(10)x/ln(3)=ln(x)

Komme dann aber nicht weiter!
Confused
chris19
Gast






BeitragVerfasst am: 27 Jan 2005 - 22:56:45    Titel:

Shocked SORRY, da ist wohl was schief gelaufen!
Andromeda
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2005 - 23:03:21    Titel:

Setz doch zur Überprüfung doch einfach den Wert in die Ursprungsgleichung ein.

Gruß
Andromeda
hartwork
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Anmeldungsdatum: 21.06.2004
Beiträge: 109
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2005 - 23:45:20    Titel:

welches ergebnis richtig ist, lässt sich erst mit sicherheit sagen,
wenn du spezifizierst, was denn nun genau mit

"log(10)x" oder "log10x" gemeint ist.

meine lösung geht von


A) "logarithmus von x zur basis 10"


aus während andromeda von


B) "logarithmus von 10*x zur basis 10"


ausgeht.
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